Funktionen auf Riemannschen Flächen

Zusammenfassung

In den Untersuchungen des Kapitels V haben wir gezeigt, wie sich eine gegebene Riemannsche Fläche ℜ uniformisieren läßt, indem man ihre universelle Überlagerungsfläche F auf ein Normalgebiet N abbildet. Der Gruppe Γ der Decktransformationen von F entsprach in N eine diskontinuierliche Gruppe G linearer Transformationen. Wir erkannten, daß der Quotientenraum N/G eine allgemeine Riemannsche Fläche bildet, die zu ℜ global holomorph äquivalent ist. Eine Funktion auf ℜ liefert vermöge der Abbildung von ℜ auf N/G eine Funktion auf N/G. Diese kann wiederum als eine Funktion in N betrachtet werden, die gegenüber der Gruppe G automorph ist, d. h. sie besitzt in Punkten aus N, die durch eine Transformation aus G auseinander hervorgehen, dieselben Funktionswerte. Umgekehrt liefert jede bezüglich G automorphe Funktion in N eine Funktion von N/G und damit eine Funktion auf R. Das Studium der Funktionen auf R ist also äquivalent dem Studium der automorphen Funktionen von N bezüglich G.