Zusammenfassung
Im ersten Band sowie in Kap. IV dieses Bandes ist der Zusammenhang von Randwert- und Eigenwertproblemen elliptischer Differentialgleichungen mit der Variationsrechnung ausführlich diskutiert worden. Jedoch fehlt noch ein allgemeiner Beweis für die Lösbarkeit dieser Probleme. Wir wollen nunmehr diese Existenzbeweise auf der Basis der Variationsrechnung erbringen. Dabei legen wir der Darstellung den Fall von zwei unabhängigen Veränderlichen zugrunde, bemerken aber, daß die Theorie unverändert für drei unabhängige Veränderliche gilt, abgesehen von einer Sonderbetrachtung über die Annahme der Randwerte in § 4. Bei mehr als drei unabhängigen Veränderlichen erfordert die Übertragung der Theorie eine Einschränkung (vgl. Fußnote in § 5, 1, S. 499).
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Literatur
Vgl. Bd. I, S. 155.
Zur ausgedehnten Literatur seien nur die folgenden Abhandlungen erwähnt: Weierstrass: Über das sog. Dirichletsche Prinzip. Werke Bd. 2. Schwarz, H. A.: Ges. Abhandlungen Bd. 2, S. 1331 Neumann, C.: Sächsische Berichte, 1870 und Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Intergrale, S. 388 f. Leipzig 1884.
Hilbert: Über das Dirichletsche Prinzip. Ges. Abhandlungen Bd. 3.
Levi, B.: Sul Principio di Dirichlet, G. Fubini, Il principio di minimo e i teoremi di esistenza per i problemi al contorno relativi alle equazione alle derivate parziali di ordini pari. Lebesgue: Sur le problème de Dirichlet. Alle drei in den Rendiconti del Circolo matematico die Palermo, Bd. 22–24.
Zaremba, S.: Sur le principe du minimum. Krakauer Akademieberichte, Juli 1909. Ferner die Arbeiten von R. Courant seit 1912, zitiert in R. Courant: Über direkte Methoden der Variationsrechnung und verwandte Fragen. Math. Ann. Bd. 97 (1927). Über die Anwendung der Variationsrechnung usw. Acta Math. Bd. 49. Sowie: Neue Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip. Crelles Journ. Bd. 165 (1931).
Vgl. zu einer solchen Methode etwa Hurwitz-Courant: Funktionentheorie, Abschn. III, S. 451 ff. Berlin 1931.
Für eine vollständige Entwicklung dieser Begriffe vgl. M. H. Stone: Linear Transformations in Hilbert Space. New York 1932.
Zur Definition dieser Räume und ihrer Verwendung für die Formulierung von Randbedingungen vgl. Friedrichs: Zur Spektraltheorie. Math. Ann. Bd. 109, S. 465 u. S. 685.
Die Poincarésche Ungleichung (Rend. Cire. Mat. Palermo 1894) drückt einfach die Tatsache aus, daß für ein Quadrat der zweite Eigenwert der Differentialgleichung (p u x )x + (p u y )y + λ κ u = 0 mit der Randbedingung des Verschwindens der Normalenableitungen positiv ist. Vgl. auch § 6 und § 7.
Diese Ungleichung wurde anscheinend zuerst von K. Friedrichs eingeführt zur handlichen Formulierung der Vollstetigkeit der Form Hin bezug auf die Maßform D(vgl. Math. Ann. Bd. 109, S. 486). Zum Begriffe der Vollstetigkeit vgl. Encyclopädieartikel Hellinger u. Toeplitz: Encyclopädie der math. Wiss. Bd. II. C. 13.
Vgl. Retlich: Gött. Nachr. 1930, sowie auch Bd. I, S. 359.
Hinsichtlich der ganz anders liegenden Verhältnisse bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen sei nochmals auf die Bemerkungen in Kap. IV, S. 273 und auf die auf S. 285 zitierten Resultate von N. Wiener verwiesen.
Aus ihr und (12)1 folgt auch die in § 4, S. 497 benutzte Abschätzung
Zu diesem Begriff siehe Bd. I, Kap. IV, § 5.
Vgl. Courant: Crelles Journ. Bd. 165, S. 249ff. und Hurwitz-Courant: Funktionentheorie, Teil III.
Zum Beweise vgl. Courant: Crelles Journ. Bd. 165, S. 255 ff. bzw. Hurwitz-Courant: Funktionentheorie, Abschnitt III.
Vgl. Hurwitz-Courant: Funktionentheorie, 1931, S. 471 ff.
Das erste Randwertproblem der Platte wurde von der Variationsrechnung her zum ersten Male von G. Fubini gelöst. (Vgl. Il principio di minimo e i teoremi di existenza …. Rendiconti Palermo, 1907.) Sowohl Randwert- als auch Eigenwertproblem wurde von W. Ritz behandelt [Crelles Journal Bd. 135 (1909) und Ann. Physik 1909, sowie gesammelte Abhandlungen passim]. Vgl. im übrigen auch für andere Randbedingungen zur hier gegebenen Darstellung insbesondere K. Friedrichs: Math. Ann. Bd. 98 (1927) S. 206 f.
Vgl. zu dieser Methode u. a. Courant: Math. Ann. Bd. 97.
Die erste allgemeine Lösung des Plateauschen Problemes wurde 1932 unabhängig von J. Douglas und T. Radó gegeben. Literatur siehe vor allem bei Radó: On the problem of Plateau. Erg. Math. Bd. 2. 1933, und Douglas: Bull. Amer. math. Soc. 1933, S. 227 ff. Die vorliegende Darstellung beruht auf den Abhandlungen von R. Courant: Nat. Ac. Sci. Wash., Juni 1936, S. 368 ff. und Ann. Math. Bd. 38 (1937) S. 679 ff.
Eindeutige Umkehrbarkeit der Abbildung wird nicht ausdrücklich im Problem gefordert — ergibt sich vielmehr als Konsequenz von selbst (vgl. z. B. Courant, Ann. of Math. Bd. 38, S. 696).
Vgl. Fußnote auf S. 473.
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Courant, R., Hilbert, D. (1937). Lösung der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung. In: Methoden der Mathematischen Physik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-47434-7_7
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