Zusammenfassung
Auch für hyperbolische Differentialgleichungen bei nVeränderlichen mit n > 2 wird sich als entscheidend für das tiefere Verständnis der Charakteristikenbegriff erweisen, obwohl für n > 2 eine allgemeine Integrationstheorie mit seiner Hilfe nicht mehr entwickelt werden kann. Im vorliegenden Kapitel werden wir zunächst die Charakteristikentheorie behandeln; dabei werden unsere Überlegungen weitgehend denen des Kap. V parallel laufen. Ähnlich wie bei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung tritt jedoch als neues Moment auf, daß wir zwischen charakteristischen n - 1 dimensionalen Mannigfaltigkeiten und charakteristischen Kurven, auch Bicharakteristiken oder Strahlen genannt, unterscheiden müssen1. Im zweiten Teil des Kapitels werden wir dann näher auf die Integration von Differentialgleichungsproblemen, insbesondere linearen Problemen mit konstanten Koeffizienten eingehen.
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Literatur
Man vergleiche zur Theorie der Charakteristiken und der Wellen noch Hadamard: Propagation des ondes. Paris 1903. Levi Civita: Charatteristiche dei Sistemi Differenziali e Propagazione ondosa. Bologna 1931. Siehe auch Thomas and Titt: Ann. of Math. Bd. 34 (1933) S. 1–80.
Die Methode dieses Paragraphen ist Zaremba zuzuschreiben: Rendic. Acc. Lincei, Ser. 5, Bd. 14 (1915) S. 904. Sie ist später wiedergefunden und erweitert worden von Rubinovicz: Monatsh. f. Math. u. Phys. Bd. 30 (1920) S. 65 ft. und Phys. Ztschr. Bd. 27 (1926) S. 707 ff.; sowie Friedrichs u. Lewy: Math. Ann. Bd. 98 (1928) S. 192ff.
Vgl. Hadamardloc. cit. und die dort angegebene Literatur, insbesondere auch die Arbeiten von Volterra: Acta Math. Bd. 18, und Tedone Annal. di Mat. 3. Serie, Bd. 1, S. 1, wo zuerst explizite Darstellungen angegeben wurden.
Vgl. Courant: Differential- und Integralrechnung II, 2. Aufl., S. 245 ff.
Vgl. Courant, Differential- und Integralrechnung II, a. a. O. Nach Courant-Hilbert I, S. 418 ergibt sich daher beiläufig \(M(r) = 2^{\frac{{m - 2}}{2}} \Gamma \left( {\frac{m}{2}} \right)\frac{{J_{\frac{{m - 2}}{2}} r}}{{r^{\frac{{m - 2}}{2}} }}\)
Vgl. wieder Hadamard: Lectures on Cauchy’s Problem, New Haven 1923 und die erweiterte französische Ausgabe: Problème de Cauchy. Paris 1932. Siehe auch Kap. III, § 6, 5.
Wie weit sie für die Lösbarkeit des Anfangswertproblems unabhängig von unserer Darstellungsformel wirklich notwendig ist, bleibe hier dahingestellt. Vgl. hierzu Anhang § 4.
Von Volterra anscheinend zuerst klar erkannt (vgl. Fußnote S. 386).
Vgl, hierzu auch Duhamels Integral, Kap. III, Anh. § 1, 3.
Vgl. zur Verwendung dieser Mittelbildungen und zu verschiedenen Betrachtungen dieses und der beiden folgenden Paragraphen die Arbeiten von Fritz John: Math. Ann. Bd. 109 (1934) S. 488 f. und Bd. 111 (1935) S. 542 f.
Vgl. Leifur Asgeirsson: Göttinger Dissertation (1932). Math. Ann. Bd. 113 (1936) S. 321 ff.
Vgl. hierzu F. John: Math. Ann. Bd. 111, S. 542 f., wo für die Gleichung von Darboux mit einer anderen Methode noch weitergehende Ergebnisse erzielt werden.
Für den Grenzfall des Ausstrahlungsproblemes, wo die Methode eine etwas einfachere Form annimmt, siehe auch § 10.
Vgl. wieder Le Problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques. Paris 1932, sowie die englische Originalausgabe.
Vgl. Bd. I, Kap. VII, insbesondere S. 432.
Auf die Brauchbarkeit des logarithmischen Anteils für ungerade nhat Hadamard hingewiesen. Siehe auch Friedrichs: Gött. Nachr. 1927, S. 172 ff.
Vgl. G. Herglotz: Ber. sächs. Akad. 1926, sowie eine Vorlesungsausarbeitung über Mechanik der Continua.
Vgl. Bull. Soc. Math. France Bd. 31, S. 208 f. und Bd. 52, S. 241 f. Übrigens gelten ähnliche Bemerkungen auch für das Randwertproblem.
Vgl. Friedrichs u. Lewy: Gött. Nachr. 1932, S. 135 f.
Vgl. z. B. auch eine demnächst erscheinende Abhandlung von K. Friedrichs zur Anwendung der allgemeinen Operatorentheorie auf Differentialoperatoren.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Courant, R., Hilbert, D. (1937). Hyperbolische Differentialgleichungen mit mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen. In: Methoden der Mathematischen Physik. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-47434-7_6
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