Abstract
Les problèmes variationnels ou d’optimisation font intervenir, de manière naturelle, des fonctions qui ne sont pas différentiables. Certes ces fonctions sont différentiables en la plupart des points, mais ne le sont pas aux "points intéressants". Les objectifs d’un calcul différentiel généralisé sont, au moins : "que ça fonctionne" (eu égard aux opérations usuelles de l’Analyse); "que ça s’utilise" (Algorithmique, problèmes applicatifs).
"Il faut parfois compliquer un problème pour en simplifier la solution." P. Erdös (1913-1996)
"You are never sure whether or not a problem is good unless you actually solve it." M. Gromov (Abel Prize, 2009)
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Notes
- 1.
Pour être tout à fait précis, c’est un renforcement de la Fréchet-différentiabilité en \(x\), appelée stricte différentiabilité de \(f\) en \(x\), qui assure que \(\partial f(x)\) est un singleton. Définition : \(f\) est dite strictement différentiable en \(x\) s’il existe \(l^*\in E^*\) telle que
$$\begin{aligned} \displaystyle \frac{f(y)-f(z)-\langle l^*,y-z \rangle }{\left\Vert y-z \right\Vert} \rightarrow 0 \text{ quand}\;y\rightarrow x,\ z\rightarrow x,\ y\ne z. \end{aligned}$$Cette définition, dans le cas des fonctions de la variable réelle, remonte à G. Peano (1892) qui estimait qu’elle "rendait compte du concept de dérivée utilisée dans les sciences physiques beaucoup mieux que ne le faisait la définition de la dérivée usuelle". Si \(f\) est différentiable dans un voisinage de \(x\), la stricte différentiabilité de \(f\) en \(x\) équivaut au fait que \(D\,f\) est continue en \(x\). Ainsi :
$$\begin{aligned} \left( f \text{ est} \text{ strictement} \text{ diff}\acute{\mathrm{e}}\text{rentiable} \text{ sur}\;{\fancyscript{O}} \right) \Leftrightarrow \left( f \text{ est} \text{ contin}\hat{\mathrm{u}}\text{ment} \text{ diff}\acute{\mathrm{e}}\text{rentiable} \text{ sur}\;{\fancyscript{O}} \right). \end{aligned}$$
Réferénces
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Hiriart-Urruty, JB. (2013). SOUS-DIFFÉRENTIELS GÉNÉRALISÉS DE FONCTIONS NON DIFFÉRENTIABLES. In: Bases, outils et principes pour l'analyse variationnelle. Mathématiques et Applications, vol 70. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-30735-5_6
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