Zusammenfassung
Wir haben bis jetzt ab und zu den Begriff Vektor- bzw. Zustandsraum benutzt. In diesem Kapitel werden wir uns mit dem Thema etwas näher befassen. Aus Gründen der Einfachheit werden wir uns dabei stark auf das Beispielsystem Polarisation stützen, wobei die grundlegenden Formulierungen natürlich von der konkreten Realisierung unabhängig sind und für alle zweidimensionalen Zustandsräume gelten (z. B. Polarisation, Elektronenspin, Doppelmuldenpotenzial, Ammoniakmolekül usw.). Mehr noch, die hier eingeführten Begriffe behalten auch in höherdimensionalen Zustandsräumen ihren Sinn, so dass wir vieles am Beispiel des schlichten zweidimensionalen Zustandsraum einführen und diskutieren können. Von der technischen Seite her betrachtet handelt es sich in diesem Kapitel nur um das Besprechen einiger Grundtatsachen für komplexe Vektorräume. In Anhang G (Band 1) ‚Aus der Linearen Algebra 2‘ sind die wesentlichen Definitionen zusammengestellt.
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Notes
- 1.
Wir behandeln diese Technikalitäten natürlich nicht als Selbstzweck, sondern weil sie von grundlegender Bedeutung für die physikalische Beschreibung im Rahmen der QM sind.
- 2.
Zur Schreibweise \(\cong\) siehe Kap. 2.
- 3.
Wir werden später Vektorräume kennenlernen, bei denen das nicht mehr der Fall ist, Stichwort ‚Identische Teilchen‘ bzw. ‚Superauswahlregeln‘.
- 4.
Wir bemerken, dass das Superpositionsprinzip drei Informationen enthält: 1) Die Multiplikation eines Zustands mit einem Skalar ist sinnvoll. 2) Die Addition zweier Zustände ist sinnvoll. 3) Jede Linearkombination zweier Zustände ist wieder Element des Vektorraums.
- 5.
Wir wissen ja, dass nur der Nullvektor die Länge null hat.
- 6.
Zur Erinnerung: \({}^{{\ast}}\) bedeutet die komplexe Konjugation.
- 7.
Bei der Bracket-Schreibweise sieht man nicht (wie übrigens auch bei den üblichen Vektorschreibweisen \(\mathbf{v}\) oder \(\vec{v}\)), welche Dimension der entsprechende Vektorraum besitzt; falls erforderlich, muss diese Information separat gegeben werden.
- 8.
Wir wiederholen die Bemerkung, dass für Produkte von Zahlen und Vektoren \(c\cdot\left|z\right\rangle=\left|z\right\rangle\cdot c\) gilt; deswegen können wir hier \(\left\langle h|z\right\rangle\left|h\right\rangle\) als \(\left|h\right\rangle\left\langle h|z\right\rangle\) schreiben, da \(\left\langle h|z\right\rangle\) ja eine Zahl ist.
- 9.
Bei Gleichungen wie (4.17) handelt es sich bei der \(1\) auf der rechten Seite nicht unbedingt um die Zahl \(1\), sondern allgemein um etwas, das bei Multiplikation wie eine \(1\) wirkt, also einen Einheitsoperator; bei Vektoren ist das zum Beispiel die Einheitsmatrix. Die Notation \(1\) für den Einheitsoperator (die ja dazu führt, statt z. B. \(\left(\begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix}\right)\) schlicht \(1\) zu schreiben) ist natürlich recht lax; andererseits ist wie gesagt die Wirkung von Einheitsoperator und \(1\) identisch, sodass man die kleine Ungenauigkeit angesichts der Schreibökonomie generell in Kauf nimmt, und eben gegebenenfalls ‚weiß‘, dass \(1\) den Einheitsoperator bezeichnet. Es gibt aber für ihn durchaus auch Kennzeichnungen wie \(\mathbb{E}\), \(I_{{n}}\) (wobei \(n\) die Dimension angibt) oder Ähnliches. Eine analoge Bemerkung gilt für die Null. Im Übrigen erinnern wir uns daran, dass wir zum Beispiel bei Vektoren seit eh und je \(\vec{a}=0\) schreiben und nicht \(\vec{a}=\vec{0}\).
- 10.
Für die Summation benutzen wir fast ausschließlich die abkürzende Schreibweise \(\sum\nolimits _{{n}}\) (statt z. B. \(\sum _{{n=1}}^{{\infty}}\) oder \(\sum _{{n=1}}^{{N}}\) usw.). In der Kurzschreibweise muss sich, falls erforderlich, der Wertevorrat von \(n\) aus dem Kontext des zugrunde liegenden Problems ergeben.
- 11.
Zum Zusammenhang von Skalarprodukt und Projektion siehe Anhang F (Band 1) ‚Aus der linearen Algebra 1‘.
- 12.
Wie wir in Kap. 13 sehen werden, erfüllt ein Projektionsoperator in der QM noch eine weitere Bedingung (Selbstadjungiertheit).
- 13.
Mit anderen Worten: Durch den Prozess der Messung ‚kollabiert‘ eine Überlagerung wie \(\left|z\right\rangle=a\left|h\right\rangle+b\left|v\right\rangle\) z. B. in den Zustand \(\left|h\right\rangle\).
- 14.
Um es noch einmal deutlich zu machen: Wenn wir zum Beispiel einen beliebig polarisierten Zustand \(\left|z\right\rangle=a\left|h\right\rangle+b\left|v\right\rangle\) mit \(\left|a\right|^{{2}}+\left|b\right|^{{2}}=1\) und \(ab\neq 0\) messen, erhalten wir mit der Wahrscheinlichkeit \(\left|a\right|^{{2}}\) ein horizontal linear polarisiertes Photon. Daraus können wir aber nicht zurückschließen, dass das Photon diesen Zustand schon vor der Messung hatte. Es macht in diesem Fall schlicht keinen Sinn, vor der Messung von einem definierten Wert (\(+1\) oder \(-1\)) auszugehen.
- 15.
Es handelt sich übrigens bei diesem Operator im Wesentlichen um die \(x\)-Komponente des Bahndrehimpulsoperators für Drehimpuls \(1\); siehe Kap. 16 (Band 2).
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© 2012 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
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Pade, J. (2012). Komplexe Vektorräume und Quantenmechanik. In: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-25227-3_4
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