Étude d’une loi de conservation

Abstract

Une fois un modèle eulérien ou lagrangien obtenu il importe d’en déterminer les solutions par des moyens analytiques ou numériques. En comparant ces solutions aux résultats expérimentaux cela permet de progresser dans la compréhension du modèle. Nous verrons par la suite que la non-linéarité du flux

$$ U \mapsto f(U) $$

induit l’existence de solutions d’un nouveau type pour tout système hyperbolique non linéaire de lois de conservation : ces solutions sont discontinues. Le cas scalaire est suffisant pour comprendre ce phénomène. Nous considérons l’équation scalaire

$$ \partial_t u + \partial_x f(u)=0,\quad t>0 $$

((3.1))

avec une condition initiale u(0, x) = u₀(x). On construira la solution à l’aide de la méthode des caractéristiques, avec la restriction importante que cette solution se doit d’être régulière. La non-linéarité du flux

$$ u \mapsto f(u) $$

induit l’existence de solutions discontinues. La formulation faible de l’équation fournit un cadre agréable pour discuter des ces solutions discontinues. L’entropie permet de distinguer les solutions discontinues admissibles des solutions discontinues non admissibles. Des exemples seront traités avec soin, en particulier pour l’équation du trafic routier pour laquelle les solutions discontinues de type choc sont les entrées de bouchon.