Die Riemannsche Thetafunktion

Die Grundlage für das Studium elliptischer Funktionen war im 2. Kapitel die Weierstra×sche ℘-Funktion. Jacobis ältere Methode, welche von der Theta -Reihe Σ^∞ _n=-∞ exp π in(nτ + 2z) für t ϵ ℍ und z ϵ ℂ ausgeht, ist komplizierter. Aber sie ermüglicht auch einen Zugang zu den Abelschen Funktionen, welche nicht mehr elliptisch sind, wenn die zugehürige Fläche ein Geschlecht g<1 hat. Wie bereits von Jacobi vorgeschlagen wurde, benutzt man dann eine Thetareihe in g Variablen. Diese Idee, welche sich bei Jacobi noch auf den hyperelliptischen Fall beschränkte, griff Riemann auf und verwirklichte sie in derWeise, daß er jeder kompakten Fläche X eine Thetafunktion zuordnete, aus der sich alle meromorphen Funktionen auf X gewinnen lassen. Diese Riemannsche Theorie der Thetafunktion steht im Mittelpunkt des Kapitels.