Erzeugende Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel untersuchen wir für reelle Zufallsvariable Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen, die durch die Erwartungswerte bestimmter Transformationen der Zufallsvariablen definiert sind und als erzeugende Funktionen bezeichnet werden. Offenbar sind die erzeugenden Funktionen einer reellen Zufallsvariablen durch deren Verteilung vollständig bestimmt. Daher könnte man erzeugende Funktionen auch durch die Integrale bestimmter reeller oder komplexer Funktionen bezüglich einer univariaten Verteilung definieren; da aber jede univariate Verteilung als Verteilung einer reellen Zufallsvariablen auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum dargestellt werden kann, führt dies zu keiner echten Verallgemeinerung.

Das Interesse an erzeugenden Funktionen beruht darauf, dass sie in vielen Fällen die Bestimmung von Momenten einer Zufallsvariablen oder sogar die Bestimmung der Verteilung einer Zufallsvariablen erleichtern; diesen Eigenschaften verdanken die erzeugenden Funktionen ihren Namen.

Wir betrachten

– die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer Zufallsvariablen mit Werten in ℕ₀ (Abschnitt 16.1),

– die momenterzeugende Funktion (Abschnitt 16.2),

– die kumulantenerzeugende Funktion (Abschnitt 16.3), und

– die charakteristische Funktion (Abschnitt 16.4).

Dabei untersuchen wir vor allem die Eigenschaften der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion und der charakteristischen Funktion.

Grundsätzlich können diese erzeugenden Funktionen auch für Zufallsvektoren und damit für multivariate Verteilungen definiert werden. Wir machen von dieser Möglichkeit jedoch keinen Gebrauch und beschränken uns auf die Darstellung der grundlegenden Eigenschaften der erzeugenden Funktionen von Zufallsvariablen.