Funktionen

Zusammenfassung

Obwohl viele mathematische Sachverhalte, die wir heute mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, bereits in der Antike bekannt waren, tritt das Konzept der Funktion erst im 14. Jahrhundert auf, als man versuchte Naturgesetze als Abhängigkeiten einer Größe von einer anderen zu beschreiben. Der heutige Funktionenbegriff, der sich erst im vergangenen Jahrhundert durchgesetzt hat, beruht auf der Mengenlehre (vgl. Abschnitt 6.3). Die Ideen der Ableitung und des Integrals einer Funktion wurden bereits im 17. Jahrhundert entwickelt, obwohl der Begriff der Funktion zu dieser Zeit noch nicht in der heutigen Form entwickelt war. Bereits Barrow erkannte, dass Differentiation und Integration zueinander inverse Operationen sind, das ist heute der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz 4.4.15). Bevor wir uns dieser Perle der Analysis zuwenden, befassen wir uns mit dem wichtigen Begriff der stetigen Funktion. Für die stückweise stetigen Funktionen werden wir einen Integralbegriff definieren. Als Anwendung wird beschrieben, wie Funktionen durch Polynome bzw. wie periodische Funktionen durch trigonometrische Polynome approximiert werden können. Das führt uns schließlich zu den Fourier-Transformationen, die uns erlauben, am Ende auf Datenkompressionen (JPEG, MP3) einzugehen.