Extremaleigenschaften von Geodätischen

Zusammenfassung

Seit den Anfängen der Differentialgeometrie weiß man, daß die Geodätischen des Levi-Civita-Zusammenhangs einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M lokal die Bogenlänge differenzierbarer Kurven minimalisieren, d.h. für hinreichend benachbarte Punkte p, q ∈ M gibt es eine Geodätische c von p nach q, die kürzer ist als alle anderen Kurven von p nach q. Durch ein solches Variationsproblem wurde man überhaupt auf Geodätische aufmerksam. Erst ziemlich spät jedoch entwickelte sich eine Variationsrechnung im Großen, Morse hat zuerst auf weittragende Konsequenzen hingewiesen, die sich daraus ergeben, daß die Geodätischen von p nach q genau die Extremalen oder “kritischen Punkte” des Bogenlängen- oder Energiefunktionals auf dem Raum Ω_pq aller stückweise differenzierbaren Kurven [0, 1]→M von p nach q sind, vergleiche sein Buch unter der Literatur am Ende dieses Paragraphen. In der Theorie von Morse zeigt sich, daß die Topologie von Ω_pq und damit in gewissem Sinn auch die Topologie von M bestimmt ist allein durch die Geodätischen von p nach q und ihre zweite Variation, sofern M vollständig ist und p,q geignet gewählt werden, vgl. insbesondere auch 7.6.