Zusammenfassung
Während die bisher besprochenen falschen Auffassungen den Gegenstand der Mathematik in den logischen Bereich stellen wollen, versucht eine andere Ansicht, zwar nicht bewußt, aber tatsächlich, ihn dem Erfahrungsgebiet der sinnlichen Gegenstände zuzuteilen, indem sie im Bereiche der Mathematik die Induktion wiederfinden will. Wir wollen uns’ deshalb noch überzeugen, daß die Induktion in diesem Bereiche keine Geltung hat.
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Literatur
Ich mache darauf aufmerksam, daß das, was wir Inhalt der Klasse nennen, nicht der logische Begriff ist, sondern diesen Begriff als Unterfall umfaßt. Man kann als Klasse beliebige (was oben außer Betracht gelassen ist) und beliebig viele Gegenstände zusammenfassen. Der logische Begriff geht aber auf vollständige Klassen (und wesentliche Merkmale).
Sie gilt übrigens hier auch nicht, wie schon mehrmals von Logikern bemerkt worden ist, beim Übergang von vollständigen Klassen zu über- oder untergeordneten Klassen, wenn die Klassenbegriffe Aussagen über Relationen zwischen homogen — quantitativen Gegenständen enthalten. Denn dann bildet die Mathematik den Klassenbegriff nach dem ersten der oben (50) genannten Wege nicht als die Menge der gemeinsamen Prädikate, sondern als die Menge aller Prädikate, mengentheoretisch und vergleichsweise gesprochen nicht als den gemeinsamen Durchschnitt, sondern als die Vereinigungsmenge. Das ist möglich, weil der Inhalt jedes mathematischen Gegenstandes vollständig bestimmt ist. Das ist aber auch notwendig, weil die dabei benutzten Zeichen a, b, c usw keine Klassenbegriffe, sondern Symbole sind, die jede Zahl in ihrer ganzen Bestimmtheit vertreten. „Das Pferd“, „der Hund“ usw sind keine sinnlichen Gegenstände, sondern Begriffe. Aber a, b, c usw werden als mathematische Gegenstände angesehen; denn man kann 1 zu a addieren, aber nicht „Karo“ zu „der Hund“ hinzuzählen.
Vgl. Lietzmann, Der pythag. Lehrsatz. S. 61 ff.
Windelband in der Enzyklopädie der philos. Wissenschaften, 1. Bd., S. 40.
Mill, System der deduktionen und induktiven Logik, 1. Bd., S. 363.
Wundt, Logik, II3, 1907, S. 134.
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Dieses Kapitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer Book Archives mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen. Dieses Kapitel ist aus einem Buch, das in der Zeit vor 1945 erschienen ist und wird daher in seiner zeittypischen politisch-ideologischen Ausrichtung vom Verlag nicht beworben.
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Müller, A. (1922). Die Induktion in der Mathematik. In: Der Gegenstand der Mathematik mit besonderer Beziehung auf die Relativitätstheorie. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-322-98772-3_9
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Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden
Print ISBN: 978-3-322-98115-8
Online ISBN: 978-3-322-98772-3
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