Zusammenfassung
Ein Blick auf die lange Geschichte der Anwendungen von Mathematik zeigt, dass dort gewisse ausgezeichnete Funktionen (Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen,...) immer und immer wieder vorkommen. Es ist eines der Ziele dieses Kapitels, die für die Behandlung dieser „speziellen“ Funktionen notwendigen Begriffe bereitzustellen.
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Literatur
1)In manchen Büchern heißt es übrigens „l’Hospital“statt „l’Hôpital“, in beiden Fällen sollte man diesen französischen Namen als „loppitall“(mit der Betonung auf der letzten Silbe) aussprechen.
2)Das Thema wird am Ende von Band 2 der „Analysis“noch einmal aufgegriffen werden, dann sollen Funktionen behandelt werden, die auf Teilmengen des ℝ m definiert sind, die also von mehreren Veränderlichen abhängen.
3)In Worten: „Der Limes von g(x) für x gegen x0 , x ungleich x0, ist gleich α.“
4)Die umgekehrte Implikation gilt ja stets.
5)So einfach geht es leider nicht immer. Wir werden aber in Abschnitt 4.2 eine weitere Technik zur Bestimmung von lim kennen lernen, die l’Hôpitalschen Regeln.
6)Es gibt nur wenige Werke, die einen derartigen Einfluss hatten wie Newtons „Principia mathematica“von 1687. Darin wurde überzeugend nachgewiesen, dass man wichtige Aspekte der Welt durch mathematische Modelle quantitativ beschreiben kann. Um dieses Programm konkretisieren zu können, entwickelte Newton — unabhängig von Leibniz — eine Differential-und Integralrechnung.
7)Weierstraß arbeitete zunächst als Lehrer, erst spät wurde er Professor an der Berliner Universität. Er veröffentlichte wichtige Beiträge in verschiedenen mathematischen Teilgebieten.
8)Das ist deswegen plausibel, weil die x n mit x n = x 0 für die Frage f(x n) ↦f(x0) un_ problematisch sind. Wenn Ihnen das zu unpräzise sein sollte: Der Beweis von 3.3.4(i) zeigt sogar, dass — mit den Bezeichnungen dieses Satzes —/bei x 0 genau dann stetig ist, wenn f(x n ) —> f(x 0 ) für alle (x n )n∈ℕ in M mit x n -> x 0 und x n ≠ x 0 (alle n ∈ ℕ) gilt.
9)D.h., für alle x 1 , x 2 G M mit x 1 < x 2 ist f(x 1 ) < f(x2)- „Streng monoton fallend“ist dadurch definiert, dass aus x 1 < x2 stets f(x 1) > f(x 2) folgt.
10)Zur Erinnerung: f-1 ist diejenige Funktion, für die (f o f- 1)(x) = x und (f -- 1 o f)(x) = x (für alle x) gilt. Für f(x) — x n etwa, aufgefasst als Funktion von] 0, +00 [nach] 0, +∽ [, ist
11)Zur Erinnerung: Das sind Funktionen der Form a 0 + a 1 x+.......+a n-1 xn- 1 + a n x n, wobei
die oo,....., a n beliebige Elemente aus K sind.
12)Der Herr war Franzose. Wer es also mit der Aussprache ganz genau nehmen möchte, sollte „Roll“sagen.
13)Zur Definition vgl. 3.3.2.
14)Um sich solche Zusätze zu ersparen, sagt man auch kurz: „ Ohne Einschränkung ist x < y.“
15)L’Hôpital war ein begüterter Adliger, der sich die Mathematik im Wesentlichen selbst beibrachte, weil er von dem Gebiet fasziniert war. Nach ihm sind die l’Hôpitalschen Regeln benannt, die, wenn man es genau nimmt, eigentlich von Johann Bernoulli bewiesen wurden. L’Hôpital schrieb auch das erste Lehrbuch der Analysis: „Analyse des infiniments petits“, 1696.
16)Für negative g gelten natürlich analoge Ergebnisse.
18)Der Grad des Produktes P. Q ist die Summe der Grade von P und Q. Damit diese Formel auch dann gilt, wenn P oder Q das Nullpolynom ist, musste der zugehörige Grad als — ∞ definiert werden.
19)Diese Einschränkung ist notwendig, denn für allgemeinere Situationen, z.B. für komplex-wertige Punktionen, stehen keine Mittelwertsätze zur Verfügung.
20)Das ist der Approximationssatz von Weierstrass, die genaue Formulierung lautet: Ist [a, b] ein kompaktes Intervall, /: [a, b] —> R eine stetige Funktion und ε > 0, so gibt es ein reelles Polynom P, so dass ∣f(x) — P(x)∣ < ε für alle x gilt. Wir werden diesen Satz erst in Abschnitt 7.1 im zweiten Band beweisen können.
21)Damit diese Formel auch für k = 0 gilt, muss man f (0):= f und 0!:= 1 definieren.
Diese Definition stammt aus der Frühzeit der modernen Analysis. Die von Taylor 1712 gefundene Taylorreihe spielt eine fundamentale Rolle bei der konkreten numerischen Berechnung vorgegebener Funktionen.
Genau genommen ist es die Restgliedformel nach Lagrange. Eine weitere Formel werden wir später auf Seite 289 kennen lernen.
24)x0 heißt dann ein Sattelpunkt Die Tangente ist zwar waagerecht, aber es gibt für jedes e > 0 Punkte x, y mit ∣x — xq∣, ∣y — xq∣ < ε und f(x) < f(x 0 ) < f(y).
25)lm Fall f (n+1)(x 0) < 0 ist es genau umgekehrt.
26)Manchmal sind auch Minimalwerte von Interesse, die erhält man ganz ähnlich. Unter einem Extremwert von/versteht man einen Maximalwert oder einen Minimalwert.
27)Zur Begründung kann man sowohl das Quotientenkriterium als auch das Wurzelkriterium heranziehen; s. Satz 2.4.3.
28)Hier ist ein weiteres Mal an Satz 3.2.6 zu erinnern, danach hat jede Teilmenge von ℝ ein Supremum.
29)Auch ±∞ sollen hier als „Zahlen“bezeichnet werden, eigentlich sind es ja „verallgemeinerte“oder „uneigentliche“Zahlen.
Grundlage für diese Faustregel ist die Tatsache, dass lim sup b n zu Δb, gehört. Das wird gleich in Satz 4.4.5 gezeigt werden.
Genau genommen, garantiert der Satz nur die Existenz von einer rationalen Zahl in diesem Intervall. Man muss ihn wiederholt anwenden, um nach und nach unendlich viele zu produzieren.
32)Wir brauchen natürlich ein entsprechendes Ergebnis für den Limes inferior. Außerdem gilt der Beweis nur für c ∈ ℝ, es sollte klar sein, wie im Fall c = ±∞ zu argumentieren ist.
Machen Sie sich klar, dass damit für noch so winzige e alle Informationen über f a durch die Werte von f a auf {z ∣∣z∣ ≤ ε} determiniert sind.
34)Das folgt zum Beispiel daraus, dass die Potenzreihe Σ z n /n! einen unendlichen Konvergenzradius hat.
35)Diese Rechnung wurde auf Seite 287 auch schon durchgeführt.
36)Fasst man ℝ, versehen mit der Addition, und]0,+∞[, versehen mit der Multiplikation, als kommutative Gruppen auf, so bedeutet das wegen (iv) gerade: exp ist ein bijektiver Gruppenhomomorphismus zwischen diesen Gruppen, also ein Gruppenisomorphismus. Insbesondere folgt, dass diese beiden Gruppen im Rahmen der Gruppentheorie nicht unterscheidbar sind.
37)So ist zum Beispiel log 1 = 0, log(l/e) = -1, log(e12) = 12.
38)Wer es hier ganz genau nimmt, sollte sich die Wohldefiniertheit überlegen: Warum ist, z.B., a3/4 = a30/40? Das folgt natürlich aus den Gesetzen für das Wurzelziehen und das Rechnen mit ganzzahligen Potenzen.
39)Dieses Problem begegnet einem übrigens öfter. Immer, wenn eine Definition auf einen neuen Bereich erweitert wird, ist zu begründen, dass der neue Ansatz im Spezialfall zum schon bekannten Ergebnis führt. So war es zum Beispiel bei der Definition von „an ↦ 0“. Das bedeutete ja zunächst auch zweierlei, nämlich einerseits „(an) ist Nullfolge“und andererseits „(an — 0) ist Nullfolge“. Leider ist nicht in allen Fällen so schnell wie hier zu sehen, dass man nichts falsch gemacht hat.
Dieser Beweis soll in Abschnitt 7.5 in Band 2 geführt werden.
41)Das sollte man sich allgemein klar gemacht haben: Ist /: R ↦ R eine Funktion und a eine positive Zahl, so hat die Punktion x ↦ f(x + a) im Wesentlichen den gleichen Graphen wie /. Man muss den Graphen von/nur um a Einheiten nach links verschieben.
42)Das ist nach Definition die Menge aller (a, b) mit reellen a, b, für die a2 + b 2 = 1 gilt, also die Menge derjenigen Punkte des ℝ2, für die der Abstand zum Nullpunkt in der euklidischen Metrik genau gleich 1 ist.
43)Für z — 0 ist Eindeutigkeit natürlich nicht zu erwarten, man darf alle x einsetzen.
Euler war einer der produktivsten Mathematiker aller Zeiten, er wirkte hauptsächlich in Berlin und St. Petersburg. Von ihm gibt es wichtige Beiträge zur Analysis, zur mathematischen Physik, zur Zahlentheorie und anderen Gebieten. Neben den Ergebnissen verdankt ihm die Mathematik viele noch heute verwendete Symbole: e, f(x),], Σ,...
45)Das bedeutet: 360 Grad entsprechen 2π. So ist zum Beispiel ein Winkel von 7r/4 nichts anderes als ein Winkel von 45 Grad.
46)Zur Erinnerung: In ℝ konnten wir Eindeutigkeit dadurch garantieren, dass wir die eindeutig bestimmte positive Wurzel betrachtet haben. In C steht aber keine entsprechende Definitionsmöglichkeit zur Verfügung.
47)Wir haben im Fall w ≠ 0 sogar n verschiedene Nullstellen angegeben. Beachten Sie auch, dass ein entsprechendes Resultat in ℝ nicht gilt. Es gibt z.B. kein reelles x mit x 2 + 1 = 0, denn x 2 + 1 ist immer ≥ 1 und damit von Null verschieden.
48)Da deis Polynom nicht konstant ist, muss es so einen Index geben.
Genauer: eine gewöhnliche Differentialgleichung; treten Funktionen mehrerer Veränderlicher auf und sind folglich partielle Ableitungen (die behandeln wir in Kapitel 7 in Band 2) zu bilden, so spricht man von partiellen Differentialgleichungen.
50)Diese Herleitung galt, genau genommen, nur im Bereich y > 0. Analog ergeben sich bei Betrachtung von y < 0 Lösungen der Form — ce G (x) mit positivem c. Da auch y = 0 Lösung ist, haben wir so die Lösungsschar ce G (x) mit c ∈ ℝ erhalten.
51)D.h. dass nicht nur P(λ) = 0 ist, sondern auch P’(λ) = ••• = P (k-1) (λ) = 0 gilt. Gleichwertig dazu ist, dass in der Zerlegung von P in Linearfaktoren der Faktor (z — λ) nicht nur einmal, sondern k-fach vorkommt.
52)In der Regel hat man wirklich n Wünsche frei, es gibt aber auch Fälle, für die keine Lösung existiert. Ein einfaches Gegenbeispiel ist die Differentialgleichung y′ = 0. Die Zusatzbedingung y′“(4) — 2 ist da sicher nicht erfüllbar, da y′“— 0. Etwas genauer muss man schon hinsehen, bis einem klar wird, dass
53)Eine Funktion/heißt stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und die Ableitung f′ stetig ist.
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© 2004 Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Behrends, E. (2004). Differentiation (eine Veränderliche). In: Analysis. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-96378-9_4
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Print ISBN: 978-3-528-13199-9
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