Zusammenfassung
Bei vielen der in Kapitel 2 behandelten Resultate spielte es in den Beweisen keine wesentliche Rolle, dass es sich bei den betrachteten Objekten um Zahlen handelte. Wichtig war nur, dass eine Abstandsdefinition mit „vernünftigen“ Eigenschaften zur Verfügung stand.
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Literatur
1)Vgl. Definition 2.5.4 in Abschnitt 2.5.
2)Ein m-Tupel ist also nichts weiter als eine Zusammenfassung von m Elementen, wobei es auch auf die Reihenfolge ankommt. Den Spezialfall m = 2 — da spricht man von Tupeln statt von 2-Tupeln — haben wir schon im Abschnitt 1.2 kennen gelernt. Wer auf eine strengere Definition Wert legt, der definiere durch vollständige Induktion:
Solche Folgen heißen übrigens fastkonstant.
Vgl. Bemerkung 3 auf Seite 168.
5)Diese Intervalle werden halboffen genannt.
Vielleicht ist es dazu hilfreich, vorher noch einmal den Kasten auf Seite 127 zu lesen.
7)Zur Erinnerung: ∩ A — der Durchschnitt über das Mengensystem A — besteht nach Definition aus allen x ∈ M, die in allen A G A enthalten sind. Diese Definition wurde schon in Abschnitt 1.5 benötigt, um die Menge N der natürlichen Zahlen ohne Pünktchen einführen zu können.
8)U O — die Vereinigung über das Mengensystem O — besteht nach Definition aus allen x ∈ M, die in mindestens einem O ∈ O enthalten sind.
9)Für ein Beispiel müssen Sie sich bis zum Beweis des Satzes von Arzelà-Ascoli in Kapitel 5 des zweiten Bandes gedulden. Da wird es eine wichtige Rolle spielen, dass kompakte metrische Räume — die lernen wir gleich anschließend kennen — separabel sind.
10)Zur Erinnerung: Der Begriff „Teilfolge einer Folge“wurde in Definition 2.1.2 eingeführt. 11)Das wird aus Satz 3.2.3 folgen.
12)Wir schließen uns ab hier der allgemein üblichen Schreibweise für Teilfolgen an, schreiben also (x nk )k ∈ℕ statt (xφ(n))n∈ℕ. k -> n k ist also gerade die Abbildung φ aus Definition 2.1.2.
13)Teilfolgen konvergenter Folgen konvergieren gegen denselben Limes: Das wurde in Satz 2.2.12(viii) gezeigt.
14)Wenn man es ganz, ganz genau nimmt, stimmt das nicht: K — Ø in M — Ø ist nach der ersten Definition beschränkt, nach der zweiten nicht. Das ist aber auch schon das einzige Gegenbeispiel, auch sehr gründliche Mathematiker könnten diesen Einwand als spitzfindig bezeichnen.
Ausnahmsweise verwenden wir in der Formulierung und im Beweis eine etwas veränderte Schreibweise: Die Elemente des K1 werden mit x usw. bezeichnet, damit man nicht Folgenindizes mit Komponenten eines Vektors verwechselt.
16)Vgl. die Beispiele zu Definition 3.1.2 auf Seite 170.
17)Das gilt nur im Km, auf unendlich-dimensionalen Räumen gibt es viele wirklich verschiedene Normen.
18)Vgl. die Definition auf Seite 124. Der Nachweis der entsprechenden Eigenschaften ist Routine.
Achtung: Eine Lipschitzabbildung hat viele Lipschitzkonstanten, mit jedem L ist auch L’ Lipschitzkonstante, falls L ≤ L’.
Allgemeiner gilt: Ist (M, d) ein metrischer Raum und x0 ∈ M, so ist die Abstandsfunktion x ↦ d(x, x 0) eine Lipschitzabbildung mit Lipschitzkonstante 1 und folglich stetig. Die Ungleichung
∣d(x, x 0) — d(y, x 0)∣< d(x,y) beweist man wie im vorstehenden Beispiel normierter Räume, sie ergibt sich durch Umstellen der Dreiecksungleichungen d(x, x 0 ) < d(x, y) + d(y, x 0) und d(y, x 0 ) < d(y, x) + d(x, x 0 ).
Das wurde auf Seite 176 nachgewiesen.
22)So ist etwa f+ g: M ↦K die Abbildung x ↦ f (x) + g(x). Es ist zu beachten, dass f/g natürlich nur dann definiert werden kann, wenn g(x) ≠ 0 für alle x ∈ M ist.
23)Sind nämlich b1 und b2 zwei verschiedene positive Zahlen, so gilt b 1 < b2 oder b2 < b1. Im ersten Fall wäre b n 1 < b n 2, im zweiten b n 2 < b n 1, es kann also bestimmt nicht b n 1 = b n 2 = a gelten.
Genau genommen ist noch daran zu erinnern, dass kompakte Mengen beschränkt sind.
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© 2004 Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Behrends, E. (2004). Metrische Räume und Stetigkeit. In: Analysis. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-96378-9_3
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-96378-9_3
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-528-13199-9
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