Zusammenfassung
Hauptziel dieses Kapitels ist es, Sie mit dem Konvergenzbegriff vertraut zu machen, dem zweifellos wichtigsten Begriff der gesamten Analysis. So gut wie alle der in späteren Kapiteln folgenden Überlegungen werden darauf aufbauen.
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Literatur
2)Gesprochen wird das übrigens einfach als „a vier“oder „x vier“.
3)Die erste dieser beiden Folgen ist keine Umordnung, weil die 1, das erste Folgenglied, nicht verwendet wurde, beim zweiten Beispiel wurden Folgenglieder mehrfach aufgeführt. 4)vgl. Definition 1.10.1.
5)Vgl. Seite 32.
6)Sehr viel später werden wir als Anwendung des Zwischenwertsatzes eine (vom gleich anstehenden Beweis unabhängige) andere Beweismöglichkeit kennen lernen. Man vergleiche Ko-rollar 3.3.7.
7)Es handelt sich um eine Präzisierung der Überlegungen, die wir am Ende von Abschnitt 1.8 angestellt haben, um die Nicht-Existenz einer Schnittzahl für einen ähnlichen Schnitt in Q einzusehen.
Beachten Sie: Wir setzen an keiner Stelle die Gültigkeit des Satzes von Pythagoras voraus, er motiviert nur unser Vorgehen.
9)„Trivial“bedeutet soviel wie „ganz fürchterlich einfach“. Dummerweise kann man sehr unterschiedlicher Meinung darüber sein, ob eine bestimmte Aussage nun trivial ist oder nicht. Auch Ihnen wird die Erfahrung nicht erspart bleiben, dass Sie eine Aussage lesen, die mit „Es ist trivial, dass...“anfängt, Sie aber keinen blassen Schimmer haben, wie man das denn begründen könnte. Varianten des Themas sind Sätze wie „Offensichtlich ist... “oder „Es ist leicht zu sehen, dass... “. In diesem Buch allerdings ist versucht worden, das Wort „trivial“nur in wirklich gerechtfertigten Fällen zu verwenden.
10)Diese Menge ist in C eine Kreisscheibe und in R die Menge {x\—e ≤ x ≤ s}. 11)Die ist nur im Fall & = M sinnvoll einzusetzen.
Anders ausgedrückt: Könnte es vorkommen, dass für eine Folge (a n ) gleichzeitig liman = 3 und lim an = 4 ist, so wüsste niemand, welche Zahl mit dem Zeichen liman gemeint ist.
13)Das sollten Sie sich aber nicht als „Setze e:= s/2“merken!
Achtung! Das ist wirklich nur eine einprägsame Kurzschreibweise. Die Formel müsste eingeleitet werden mit „Wenn lim an und lim bn existieren, dann...“
15)Sie geht natürlich auf Cauchy zurück. Cauchy bewies viele wichtige Resultate aus verschiedenen Gebieten der Mathematik. Von ihm stammt einer der ersten Versuche, die Analysis streng zu begründen („Cours d’Analyse“, 1821).
16)Nämlich: Bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen liegen alle Folgenglieder rechts von an — ε.
17)Es ist also möglich, dass sup A < inf A. Das kann allerdings für nicht leere Mengen ausgeschlossen werden.
18)B ist also die Menge der oberen Schranken von D.
19)Das heißt: Aus jeder der Aussagen folgen die anderen.
20)Der Name rührt daher, dass man mit [a, b], dem Intervall von a bis 6, die Menge der Zahlen x mit a < x < b bezeichnet. Und dann bilden die [a n ,b n ] eine Folge von ineinander geschachtelten Intervallen, deren Länge gegen Null geht.
21)Vgl. Beweisprinzip 5 im Kasten auf Seite 113.
22)Zur Erinnerung: Für a ≥ 0 ist (math) ist diejenige Zahl b ≥ 0, für die b n = a gilt. Der Existenznachweis wird erst in Korollar 3.3.7 nachgeliefert werden, er wird unabhängig vom Wurzelkriterium sein.
Leibniz war einer der letzten Universalgelehrten, gegen Ende des 17. Jahrhunderts schuf er — unabhängig von Newton — die Grundlagen der Analysis. Auf ihn gehen einige der noch heute verwendeten Symbole zurück, z.B. das Integralzeichen. Leibniz starb verarmt und verbittert.
24)Man beachte jedoch den Spezialfall aus Satz 2.4.2(i). Dass unter gewissen Voraussetzungen ein allgemeines Kommutativgesetz doch gilt, wird in Satz 2.4.5 bewiesen werden.
25)Die Umkehrung gilt nicht: Die Reihe 1 – 1/2 + 1/3 — +......ist nach dem Leibnizkriteri-um konvergent, die zugehörige Reihe der Absolutbeträge aber ist die divergente harmonische Reihe.
26)Hier sollte man vielleicht besser „Vierecksungleichung“sagen. 27) Genauer: Es gibt doch nach Definition der Surjektivität Zahlen k 1,..., k n0 mit φ(k 1 ) = 1,...,φ(k n0) = n0- Man definiere n 1 als die größte der Zahlen k 1 ,...,k n0.
dem gefeierten Satz von Dvoretzky und Rogers gibt es in jedem unendlich-dimensionalen Banachraum eine unbedingt konvergente Reihe, die nicht absolut konvergent ist.
29)wir wollen annehmen, dass n eine gerade Zahl ist.
30)Es liegt also eigentlich eine Abbildung von M nach K vor.
31)Wie bisher ist K = ℂ oder K = ℝ.
Genau genommen müssten wir Sk anstatt s schreiben. Das wäre recht schwerfällig, wir werden der Einfachheit halber bei s bleiben.
33)Eigentlich müsste es ja L((a n )) heißen.
34)Kenner sprechen den Namen als tschesa:ro aus, der Herr war Italiener.
35)Wir verwenden hier die allgemeine Potenz im Vorgriff.
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© 2004 Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Behrends, E. (2004). Folgen und Reihen. In: Analysis. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-96378-9_2
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-96378-9_2
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-528-13199-9
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