Zusammenfassung
Nach Vorwort und Einleitung geht es nun richtig los. Vielleicht haben Sie aufgrund Ihrer Schulerfahrung schon konkrete Erwartungen und sind ganz gespannt darauf, nun endlich ganz komplizierte Funktionen zu differenzieren und zu integrieren. Das werden wir natürlich auch tun, aber vorläufig geht es erst einmal darum, Sie mit den reellen Zahlen vertraut zu machen. Das hört sich ganz harmlos an, aber da bei dieser Gelegenheit auch viele grundlegende Begriffe und Techniken erklärt werden sollen und Ihr Einstieg in die Welt der Mathematik besonders „sanft“sein soll, wird dies ein recht umfangreiches Kapitel.
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Literatur
In diesem Buch folgen wir der Konvention, dass die erste natürliche Zahl die Zahl 1 ist. Für andere Autoren — nach meiner Einschätzung eine Minderheit — ist die 0 die erste natürliche Zahl.
Obwohl der Vergleich ein bisschen gewagt ist, könnte man das als Darwinismus in der Mathematik bezeichnen.
Seine berühmten Werke zur Mengenlehre entstanden zwischen 1879 und 1884. Auf seine Anregung hin wurde die Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1890 gegründet.
4)Manche Autoren verwenden statt des „∣“einen Doppelpunkt, sie würden also {n: n ist Primzahl} schreiben.
5)Dieses und die späteren „?“sollen Sie zum Mitdenken anregen. Die Antworten finden Sie ab Seite 347.
6)Falls Sie die Konstruktion übrigens zu vage finden sollten: Man kann „geordnetes Paar“auch ganz allein mit Hilfe von Mengensymbolen ausdrücken. Wenn man (x,y) als {xt{x,y}} erklärt, so ist wirklich (x,y) = (x′, y′) genau dann, wenn x = x′ und y = y′. Kein Mathematiker denkt an diese schwerfällige Definition, wenn er über geordnete Paare spricht. Wenn aber jemand auf einem Zugang besteht, in dem nur Ausdrücke aus der Mengenlehre vorkommen, lässt sich dieser Aufwand kaum vermeiden.
7)„Genau dann“ist die Abkürzung für die zwei Aussagen „dann und nur dann“. Ausführlicher: Erstens soll p A q wahr sein, wenn p und q wahr sind, und zweitens soll aus „p A q ist wahr“folgen, dass p und q wahr sind.
8)Diese Frage wurde Anfang 2003 in der Presse diskutiert, da in einer populären Fernsehsendung das Gegenteil behauptet worden war.
Hier wurde zum ersten Mal das Zeichen „D“verwendet: Es bedeutet, dass der Beweis an dieser Stelle beendet ist.
Der Beweis ist leicht: x 6 P ist gleichwertig zu x — 0 6 P, und nach Definition kann man das als x: > 0 umschreiben.
11)ßei der Gelegenheit kann darauf hingewiesen werden, dass es für mathematische Aussagen so etwas wie eine Hierarchie gibt. Vorbereitende Ergebnisse heißen „Lemma“, so richtig schwierige Sachverhalte werden „Theorem“genannt, meistens formuliert man aber — wie wir bisher — einen „Satz“. Und ist aus einem Satz ein weiteres Ergebnis schnell zu erhalten, spricht man von einem „Korollar“.
12)Das steht zur Abkürzung für: „Es ist nicht möglich, in diesem Körper K einen Positivbereich zu definieren.“
Meist macht man das für K — R, die zu beweisenden Ergebnisse gelten aber in beliebigen angeordneten Körpern.
14)(Z, +,-) ist damit ein kommutativer Ring mit Einheit. Diese Ringe studiert man in der Algebra.
Beide Ergebnisse sind auch ohne Primfaktorzerlegungen beweisbar. Für das erste schreibe man r als m/n mit kleinstmöglichem n; so eine Darstellung gibt es wegen Satz 1.5.7 (vii). Und für das zweite nutze man aus, dass ungerade Zahlen die Form 2k + 1 haben, das Quadrat — die Zahl 4k2 + 2k + 1 — also ebenfalls ungerade sein muss.
16)Es ist allerdings eine Feinheit zu beachten. Damit wirklich alles gut geht, müssen rationale Funktionen identifiziert werden, die als Funktionen nicht zu unterscheiden sind. So wie man zwei Brüche m1/n1 und m 2 /n 2 als gleich ansehen muss, wenn m 1 U 2 = n 1 m 2 gilt, so muss man hier — zum Beispiel — auch (x + l)/(x + 7) mit (5x + 5)/(5x + 35] identifizieren. Für eine ganz präzise Diskussion dieses Punktes brauchte man die Begriffe „Aquivalenzrelation“und „Äquivalenzklasse“; dazu wird erst auf Seite 69 etwas gesagt werden.
17)Dedekind griff mit den heute so genannten Dedekindschen Schnitten eine Idee von Eudoxos auf, um Vollständigkeit exakt definieren zu können („Stetigkeit und irrationale Zahlen“, 1872).
18)lst z — a + bi, so heißt z:— a — bi die zu z konjugiert komplexe Zahl.
19)Gauß war nach allgemeiner Einschätzung der bedeutendste Mathematiker, der bisher gelebt hat. Von ihm gibt es wichtige Beiträge in quasi allen Teilgebieten der Mathematik. Er war der erste, der einen hieb- und stichfesten Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra führte.
20)Wer auf eine Definition ohne Pünktchen Wert legt, kann das durch eine Definition durch Fallunterscheidung erreichen: Es soll f(n):= n/2 für gerade n und f(n):= — (n — l)/2 für ungerade n sein.
21)Die Skizze ist so zu interpretieren: 1 wird auf 0 abgebildet, 2 auf 1, 3 auf 1/2 usw.
22)Die b1, b2,... dienen also als Ziffern für die Dezimalentwicklung von b. Sollte es zum Beispiel so sein, dass kein einziges an gleich 1 ist, so wird b als 0.11111111... — also als 1/9 -definiert.
24)Zur Erinnerung: Eine Relation auf M ist eine Teilmenge von M x M.
25)D.h., ihr Durchschnitt ist leer.
26)Es ist wirklich ein Körper!
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© 2004 Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden
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Behrends, E. (2004). Die Menge ℝ der reellen Zahlen. In: Analysis. Vieweg+Teubner Verlag. https://doi.org/10.1007/978-3-322-96378-9_1
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DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-96378-9_1
Publisher Name: Vieweg+Teubner Verlag
Print ISBN: 978-3-528-13199-9
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