Unbestimmte Gleichungen dritten Grades

Zusammenfassung

Im Vierten Buch seiner Arithmetik betrachtet Diophant unbestimmte Gleichungen dritten und vierten Grades. Hier handelt es sich um eine sehr viel schwierigere Angelegenheit. Selbst wenn eine Kurve dritter Ordnung rationale Punkte besitzt, können ihre Koordinaten im allgemeinen nicht als rationale Funktionen eines Parameters ausgedrückt werden. Kennt man jedoch einen oder zwei rationale Punkte einer solchen Kurve, so kann man einen weiteren rationalen Punkt bestimmen. Jede Gerade schneidet nämlich eine Kurve dritter Ordnung in drei Punkten, deren Koordinaten man beispielsweise aus einer Gleichung dritten Grades erhalten kann, die sich durch Elimination von y aus der Gleichung der Kurve Γ,

$$f_3 \left( {x,y} \right) = 0,$$

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und der Geradengleichung ergibt. Sind zwei Wurzeln dieser resultierenden Gleichung rational, so ist auch die dritte rational (das erkennt man beispielsweise daran, daß man die Summe der Wurzeln einer kubischen Gleichung erhält, wenn man den Koeffizienten von x ² durch den Koeffizienten von x ³ dividiert und mit dem entgegengesetzten Vorzeichen versieht (sogenannter Vietascher Wurzelsatz — Anm. d. Übers.); sind die Koeffizienten der Gleichung rational und zwei Wurzeln rational, so ist offenbar auch die dritte rational. Auf dieser Bemerkung beruhen die beiden nachstehenden Verfahren:

• 1 Ist P ein rationaler Punkt der Kurve Γ, so hat die Tangente in P an Γ einen rationalen Steigungskoeffizienten k. Die Tangente hat mit Γ einen weiteren Schnittpunkt, dessen Koordinaten ebenfalls rational sind. Durch Auflösen der Tangentengleichung und der Kurvengleichung erhält man nämlich eine kubische Gleichung, die eine rationale Doppelwurzel hat, und das bedeutet, daß auch ihre dritte Lösung rational ist.

• 2 Sind P ₁ und P ₂ rationale Punkte von Γ, so schneidet die Gerade P ₁ P ₂ die Kurve Γ in einem dritten Punkt, dessen Kordinaten ebenfalls rational sind.