Die Arithmetik algebraischer Kurven

Zusammenfassung

Die von uns erwähnte Arbeit Jacobis blieb unbeachtet, und erst Poincaré wandte sich der Idee der Konstruktion einer Arithmetik auf einer algebraischen Kurve zu. Jedoch wurde in der Zeit zwischen 1834 und dem Ende des vorigen Jahrhunderts bei der Untersuchung der Geometrie algebraischer Kurven viel geleistet. Schon in Arbeiten des hervorragenden norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel (1802–1829) tauchte der Begriff des Geschlechts einer algebraischen Kurve auf.¹) Auf Grund ganz anderer Überlegungen kam der große deutsche Mathematiker Bernhabd Riemann (1826–1866) zu demselben Begriff. In seiner bemerkenswerten Arbeit Theorie der Abelschen Functionen (1857) legte er der Klassifikation der Gleichungen F(s, z) = 0 birationale Transformationen — er selbst sprach von rationalen Substitutionen — zugrunde und bewies, daß das Geschlecht einer Kurve eine Invariante solcher Transformationen ist. Riemann schrieb:

„Man betrachte nun als zu einer Klasse gehörend alle irreductiblen algebraischen Gleichungen zwischen zwei veränderlichen Grössen, welche sich durch rationale Substitutionen ineinander transformieren lassen, so daß F(s, z) = 0 und (F ₁(s ₁, z ₁) = 0 zu derselben Klasse gehören, wenn sich für s und z solche rationalen Functionen von s ₁ und z ₁ setzen lassen, daß F(s, z) = 0 in (F ₁(s ₁, z ₁) = 0 übergeht und zugleich s ₁ und z ₁ rationale Functionen von s und z sind.“ [⁸]