Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

Sei $\Sigma\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit, $m<n,\ \ T\Sigma$ ihr Tangentialbündel, und $f:\Sigma \to T\Sigma$ ein tangentiales lokal Lipschitz Vektorfeld, also $f(p)\in {{T}_{p}}\Sigma$ für alle $p \in \Sigma$. In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem

$$\dot{x}=f(x),\quad t\ge 0,\quad x(0)=x(0)\in \Sigma .$$

((13.1))

Diese Situation tritt häufig auf. So definiert jedes erste Integral eine intrinsische invariante Mannigfaltigkeit einer Differentialgleichung, und auch die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten in Sattelpunkten sind invariant. Weitere Quellen für Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten sind Zwangsbedingungen, die in natürlicher Weise in der Physik auftreten, oder aus Problemen mit stark unterschiedlichen Zeitskalen herrühren.