Quelques propriétés fondamentales des ensembles analytiques-réels

Abstract

Ce n’est que depuis peu de temps que les ensembles analytiques dans le domaine réel ont fait l’objet d’études approfondies. La théorie des variétés de Stein vient d’être transportée au cas des ensembles analytiques-réels « cohérents » par H. Cartan [6], qui a montré que, dans R ⁿ, un ensemble lieu des zéros d’un faisceau cohérent d’idéaux est « C-analytique », c’est-à-dire est la partie réelle d’un ensemble analytique-complexe, et est globalement définissable par l’annulation d’un nombre fini de fonctions analytiques-réelles. Par ailleurs, F. Bruhat et H. Cartan ont étudié dans [2] et [3] le cas général des ensembles analytiques-réels qui ne sont pas C-analytiques et ont montré que, si ces ensembles ont toujours de bonnes propriétés «locales» (i. e. sur un compact), ils peuvent avoir un comportement global très pathologique: en particulier, il n’existe pas toujours de «bonne» décomposition en composantes irréductibles.