Résumé
Une courbe lisse, géométriquement connexe et de genre non nul sur un corps de nombres, possède un modèle régulier (Abhyankar), minimal (Shafarevich), unique. C’est cet objet qu’on appelle surface arithmétique. Arakelov, ayant introduit en 1972 une théorie des intersections pour les diviseurs “compactifiés” sur une telle surface, il est très tentant d’essayer de développer une “géométrie italienne” dans le cadre diophantien. J’ai indiqué ailleurs [Sz 4] les difficultés d’une telle tâche. On a cependant un corpus de base dû à Arakelov [A] et Faltings [F 1]. Nous appliquons ici ces fondements pour essayer de “mesurer” le dualisant relatif. Ce dernier faisceau inversible est central dans bien des questions. Nous avons, par exemple, dans [Sz 1], exploité au maximum la situation, dans le cas géométrique, pour obtenir un “Mordell effectif” en toute caractéristique par la construction de “petits points”. En genre un, nous montrons plus bas, qu’une borne supérieure, polynomiale en le conducteur, pour le “degré d’Arakelov” du dualisant relatif d’une courbe elliptique donnerait Fermat par la construction de Frey.
pour A. Grothendieck
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Szpiro, L. (2007). Sur les propriétés numériques du dualisant relatif d’une surface arithméthique. In: Cartier, P., Illusie, L., Katz, N.M., Laumon, G., Manin, Y.I., Ribet, K.A. (eds) The Grothendieck Festschrift. Modern Birkhäuser Classics, vol 88. Birkhäuser, Boston, MA. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4576-2_9
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Online ISBN: 978-0-8176-4576-2
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