Symmetrien und Symmetrieoperationen. Ein systematischer Zugang

6.6 Zusammenfassung

Die Methode, die wir in diesem Kapitel kennengelernt haben, läßt sich wie folgt zusammenfassen:

Viele Moleküle weisen Symmetrien auf. Bei einer Symmetrieoperation geht das Molekül in sich über. Die Symmetrieoperationen bilden eine Gruppe, wobei das Produkt zweier Operationen durch die Gruppentafel dargestellt wird. Wendet man die Symmetrieoperationen auf einen Satz miteinander entarteter Wellenfunktionen an, so erfahren diese eine lineare Transformation unter sich. Die Transformationskoeffizienten bilden eine Matrix, und die Gruppe der Symmetrieoperationen kann durch Matrizen dargestellt werden. Durch eine geeignete Wahl der Basis von Wellenfunktionen können die Matrizen auf eine einfachste Form gebracht werden: die Darstellung wird in ihre irreduziblen Darstellungen zerlegt. Dabei sind die Charaktere (= Spur jeder Matrix) ein wichtiges Hilfsmittel.

Wollen wir diese Methode auf die exakte oder zumeist genäherte Berechnung von Elektronenwellenfunktionen eines bestimmten Moleküls anwenden, so genügt die folgende Quintessenz: Es genügt, solche Wellenfunktionen zu berechnen, die jeweils zu einer bestimmten irreduziblen Darstellung der Symmetrie-Gruppe des betreffenden Moleküls gehören. Damit gelingt es z. B. bei der LCAO-Methode, die unbekannten Koeffizienten ganz zu bestimmen oder zumindest deren Zahl drastisch zu vermindern. Dies werden wir am Beispiel des H₂O erläutern.