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Giuseppe Vitali: Real and Complex Analysis and Differential Geometry

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Mathematicians in Bologna 1861–1960

Abstract

Giuseppe Vitali’s mathematical output has been analysed from various points of view: his contributions to real analysis, celebrated for their importance in the development of the discipline, were accompanied by a more correct evaluation of his works of complex analysis and differential geometry, which required greater historical investigation since the language and themes of those research works underwent various successive developments, whereas the works on real analysis maintained a collocation within the classical exposition of that theory. This article explores the figure of Vitali and his mathematical research through the aforementioned contributions and, in particular, the edition of memoirs and correspondence promoted by the Unione Matematica Italiana, which initiated and encouraged the analysis of his scientific biography. Vitali’s most significant output took place in the first 8 years of the twentieth century when Lebesgue’s measure and integration were revolutionising the principles of the theory of functions of real variables. This period saw the emergence of some of his most important general and profound results in that field: the theorem on discontinuity points of Riemann integrable functions (1903), the theorem of the quasi-continuity of measurable functions (1905), the first example of a non-measurable set for Lebesgue measure (1905), the characterisation of absolutely continuous functions as antidervatives of Lebesgue integrable functions (1905), the covering theorem (1908). In the complex field, Vitali managed to establish fundamental topological properties for the functional spaces of holomorphic functions, among which the theorem of compacity of a family of holomorphic functions (1903–1904). Vitali’s academic career was interrupted by his employment in the secondary school and by his political and trade union commitments in the National Federation of Teachers of Mathematics (Federazione Nazionale Insegnanti di Matematica, FNISM), which brought about a reduction, and eventually a pause, in his publications. Vitali took up his research work again with renewed vigour during the national competition for university chairs and then during his academic activity firstly at the University of Modena, then Padua and finally Bologna. In this second period, besides significant improvements to his research of the first years, his mathematical output focussed on the field of differential geometry, a discipline which in Italy was long renowned for its studies, and particularly on some leading sectors like connection spaces, absolute calculus and parallelism, projective differential geometry, and geometry of the Hilbertian space. Vitali’s connection with Bologna was at first related to his origins and formation. Born in Ravenna, Vitali spent the first 2 years of university at Bologna where he was taught by Federigo Enriques and Cesare Arzelà. Enriques commissioned him with his first publication, an article for the volume Questioni riguardanti la geometria elementare on the postulate of continuity. Vitali then received a scholarship for the Scuola Normale Superiore and later completed his university studies at Pisa under the guidance of Ulisse Dini and Luigi Bianchi. From the end of 1902 until the end of 1904, when he was teaching in a secondary school in Voghera, Vitali returned to mix with the Bologna circles as he, at times, resided there. During his last years, after spending some time at the Universities of Modena and Padua, Vitali returned to teach at Bologna University, a role he carried out with energy and generosity but unfortunately not long enough to be able to found a school.

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Notes

  1. 1.

    A useful source for Vitali’s biography is the Vitali Archive, donated by his daughter, Luisa, to the Unione Matematica Italiana in 1984. It included original documents of interest for his biography, and numerous letters sent to Vitali from various mathematicians, among which 100 letters judged to be the most significant, were chosen and inserted into the edition of his works on real and complex analysis: [1], which also includes a complete list of Vitali’s publications. The correspondence, in particular, was edited by Maria Teresa Borgato and Luigi Pepe. Unedited letters and documents have contributed to the new biography of Giuseppe Vitali by Luigi Pepe, inserted into the volume: [1]: pp. 1–24. Specific studies on Vitali’s contributions to real and complex analysis and differential geometry, in: [2, 4, 5]. On Vitali’s treatises and production related to mathematics teaching see also: [6]. On Vitali’s life and work see also Vitali’s obituary [7]. For a general overview on the development of measure theory and integration, see: [8, 9].

  2. 2.

    Problems closely linked to those of Vitali were treated by André Weil: [18], and more recently in [137] much space is also given to differential equations of the 2nd order in the book: [138]. A description of this research work by Vitali, using the sheaf-theoretical notations, and its collocation in the research of his day, in [5]: 376–377.

  3. 3.

    For a detailed analysis of Vitali’s results on this topic, Vitali’s priority with respect to Montel, Arzelà and Osgood, and the attribution of the discovery of these theorems in following works (Carathéodory-Landau) and treatises see: [5]: 386–391.

  4. 4.

    “Se \({u}_{1},{u}_{2},\ldots \) è una successione di funzioni analitiche finite e monodrome convergenti in ogni punto di un campo semplicemente connesso C, e se inoltre le funzioni suddette non assumono mai i valori 0, 1 la successione converge verso una funzione analitica finita e monodroma in C.”

  5. 5.

    Three of Vitali’s memoirs refer to Riemann’s integrability of a function in relation to the set of his points of discontinuity: [29–31].

  6. 6.

    The minimal extension of a linear set of points in Vitali’s theory is the least upper bound of the series of measures of (finite or countable) families of pairwise disjoint open intervals, which covers the set.

  7. 7.

    One should say: “Peano-Jordan”, see: [32]. See also Peano’s letter of 29th February 1904 to Vitali, in which Peano compares the minimal extension with his outer measure.

  8. 8.

    A description of some of Vitali’s works on real analysis of the first period in [3].

  9. 9.

    “la possibilità del problema della misura dei gruppi di punti di una retta e quella di bene ordinare il continuo non possono coesistere”.

  10. 10.

    In more recent times, to this question is related the famous result [34].

  11. 11.

    It corresponds to the function called Cantor function or Devil’s staircase. Vitali presented this counterexample, with some more details, also in: [37].

  12. 12.

    [1], pp. 457–462. Lebesgue also claimed authorship of the demonstration that the set of points in which a continuous function has a finite derived number is measurable, that Beppo Levi had criticised and that Vitali had redemonstrated. See [38, 39].

  13. 13.

    [35] see footnote p. 129.

  14. 14.

    Vitali’s priority was also noted by E.W. Hobson [42]. Another definition was given by Lebesgue in 1910 in: [43] p. 364. See: [44].

  15. 15.

    See, for example, Note II of Lebesgue on the functions of class 1: “Démonstration d’un théorème de M. Baire”, in: [51]:149–155 and Note III of Borel “Sur l’existence des fonctions de classe quelconque” [51]: 156–158 “On peut se demander si la classification de M. Baire n’est pas purement idéale, c’est-à-dire s’il existe effectivement des fonctions dans les diverses classes définies par M. Baire. Il est claire, en effet, que si l’on prouvait, par exemple, que toutes les fonctions sont de classe 0, 1, 2 ou 3, la plus grande partie de la classification de M. Baire serait sans intérêt. Nous allons voir qu’il n’en rien:… Le raisonnement précédent ne permet pas d’exclure l’hypothèse où un théorème tel que le suivant serait exact: toute fonction effectivement définie est nécessairement de classe 0, 1, 2 ou 3. Nous allons, au contraire, montrer qu’il est possible de définir effectivement une fonction dont la classe dépasse un nombre donné d’avance”.

  16. 16.

    [57, 58], [35] footnote p. 125.

  17. 17.

    The equi-absolute continuity corresponds to the uniformity, in relaion to the family of functions, of the condition of absolute continuity of functions. Complete integrability of series extends, to measurabe sets, the ordinary concept of integrability of series (or rather when on every measurable subset \(\Gamma \) of G (measurable) the series of integrals and the integral of the series exist and can be exchanged: \(\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{\int} }_{\Gamma }{u}_{n}(x)\,\mathrm{d}x ={ {\int} }_{\Gamma }\sum\limits_{n=1}^{\infty }{u}_{n}(x)\,\mathrm{d}x\)).

  18. 18.

    A. Denjoy devoted several notes to Vitali’s covering theorem and its generalizations: [63–65].

  19. 19.

    [41]. Presented at the Academy meeting of 22nd December 1907.

  20. 20.

    [30] p. 71: “Se si ha un’infinità numerabile di intervalli, tali che ogni punto di un gruppo lineare chiuso P sia dentro ad uno di essi, esiste un numero limitato di intervalli scelti tra gli intervalli dati e aventi la stessa proprietà.”

  21. 21.

    I have sometimes replaced the condition “with the exception of a measure zero set” with the modern terminology “almost everywhere”.

  22. 22.

    On mathematics teaching in Italy, from Political Unification to Gentile Reform (1932) see [68]. The “liceo moderno”, was a new type of secondary school, which did not substitute the classical one, with more foreign languages and a scientific vocation.

  23. 23.

    [11] p. 41.

  24. 24.

    [77] I: 277, Vitali himself had recognised the priority of De La Vallée Poussin in a letter addressed to Fréchet (Vitali Archive, Bologna, 1-V-23).

  25. 25.

    See two letters from Fréchet to Vitali of 30th March and 4th May 1923, in [1]: 483–485.

  26. 26.

    [85]. See the letter of 3rd October 1942 from Sierpiński to Vitali in [1]: 490–491.

  27. 27.

    See the letter of 11th May 1928 from Nikodym to Vitali, in [1]: 494–496.

  28. 28.

    See [4] p. 49.

  29. 29.

    [90] “Geometry in Hilbertian space is not only an expansion of the field of research, it is not only the passage from finite to countable of the number of dimensions of the ambient space. That would be too little. It is a method of geometric representation that, substituting the usual Cartesian, allows more simple formulas, more concise demonstrations and a clearer and vaster view of the problems” (from the Preface).

  30. 30.

    [120] Concerning Vitali’s treatises and his production linked to the teaching of mathematics, see: [6].

  31. 31.

    [4] p. 54: “Certainly, if the entire output of a competitor were to be judged, there is no doubt that the prize should go to Vitali, whose work has given the highest honour to mathematics in Italy. The Commission, however, regrets that judgement must be limited exclusively to the works presented in this competition and is not able to take into consideration the research carried out before the last decade. Having these limitations posed on its jurisdiction, the Commission has to admit that the introduction Vitali produced of absolute systems and their derivatives, although of great value, did not justify its great formal complication in relation to the importance of the results obtained”.

  32. 32.

    Let me quote the letter sent by N. Luzin to the Seminario Matematico of Padua University on 18th March 1932 ([2] p. 201): “Messieurs et chers Collègues, C’est avec la plus vive douleur que j’ai appris la mort inattendue de notre cher et inoubliable confrère, le professeur Giuseppe Vitali. Permettez moi de vous exprimer ma condoléance profonde sur cette perte irréparable d’un grand savant dont la vie consacré tout entière sans mélange et sans partage aux recherches scientifiques et aux travaux de l’enseignement et dont les belles découvertes dans la Théorie des Fonctions font l’honneur et la gloire de notre Science”.

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Authors and Affiliations

  1. Dipartimento di Matematica, Università di Ferrara, via Machiavelli, 35, 44121, Ferrara, Italy

    Maria Teresa Borgato

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  1. Maria Teresa Borgato
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  1. Piazza Porta S. Donato 5, Bologna, 40126, Italy

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Borgato, M.T. (2012). Giuseppe Vitali: Real and Complex Analysis and Differential Geometry. In: Coen, S. (eds) Mathematicians in Bologna 1861–1960. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0227-7_2

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