Functional parameterization for hydraulic conductivity inversion with uncertainty quantification

Abstract

Functional inversion based on local approximate solutions (LAS) is developed for steady-state flow in heterogeneous aquifers. The method employs a set of LAS of flow to impose spatial continuity of hydraulic head and Darcy fluxes in the solution domain, which are conditioned to limited measurements. Hydraulic conductivity is first parameterized as piecewise continuous, which requires the addition of a smoothness constraint to reduce inversion artifacts. Alternatively, it is formulated as piecewise constant, for which the smoothness constraint is not required, but the data requirement is much higher. Success of the inversion with both parameterizations is demonstrated for both one-dimensional synthetic examples and an oil-field permeability profile. When measurement errors are increased, estimation becomes less accurate but the solution is stable, i.e., estimation errors remain bounded. Compared to piecewise constant parameterization, piecewise continuous parameterization leads to more stable and accurate inversion. Moreover, conductivity variation can also be captured at two spatial scales reflecting sub-facies smooth-varying heterogeneity as well as abrupt changes at facies boundaries. By combining inversion with geostatistical simulation, uncertainty in the estimated conductivity and the hydraulic head field can be quantified. For a given measurement dataset, inversion accuracy and estimation uncertainty with the piecewise continuous parameterization is not sensitive to increasing conductivity contrast.

Résumé

L’inversion fonctionnelle basée sur des solutions d’approximation locale (SAL) est développée pour des conditions permanentes d’écoulement dans des aquifères hétérogènes. La méthode emploie un ensemble de SAL de flux à imposer à la continuité spatiale d’une charge hydraulique et des flux de Darcy dans le domaine de validité des solutions, qui sont conditionnées pour des mesures restreintes. La conductivité hydraulique est d’abord paramétrée en tant que fonction continue, nécessitant l’ajout de contrainte de lissage pour réduire les artefacts d’inversion. Une variante peut être l’utilisation de la fonction continue constante, pour laquelle la contrainte de lissage n’est pas nécessaire, mais l’exigence de données est beaucoup plus élevée. Le succès de l’inversion avec ces paramétrages est démontré en estimant les flux unidimensionnels aussi bien pour des exemples de synthèse que pour un profil de perméabilité d’un champ pétrolier. Lorsque les erreurs de mesure augmentent, l’estimation devient moins précise, mais la solution est stable, c’est-à-dire que les erreurs d’estimation restent toujours circonscrites. Par rapport au paramétrage à l’aide d’une fonction constante, le paramétrage par fonction continue conduit à une inversion plus stable et plus précise. En outre, la variation de la conductivité peut également être capturée à deux échelles spatiales reflétant la variation lisse de l’hétérogénéité des sous-faciès ainsi que des changements brusques aux limites des faciès. En combinant l’inversion avec des simulations géostatistiques, l’incertitude de la conductivité estimée et du champ de charge hydraulique peut être quantifiée. Pour un ensemble de mesures données, la précision de l’inversion et l’estimation de l’incertitude avec un paramétrage de type fonction continue ne sont pas sensibles à l’augmentation du contraste de conductivité.

Resumen

La inversión funcional basada en soluciones locales aproximadas (LAS) está desarrollada para el flujo en estado estacionario en acuíferos heterogéneos. El método emplea un conjunto de LAS de flujo para imponer una continuidad espacial en la carga hidráulica y flujos de Darcy en el dominio de soluciones, que están condicionadas para mediciones restringidas. La conductividad hidráulica se parametriza primero como continua por partes, lo cual requiere la adición de una restricción de suavidad para reducir los defectos de la inversión. Alternativamente, se formula constante por partes para que la restricción de suavidad no sea requerida, pero el requisito de datos es mucho mayor. Se demuestra el éxito de la inversión con ambos parámetros para la estimación de flujos unidimensionales para ejemplos sintéticos y un perfil de permeabilidad en un campo petrolífero. Cuando se incrementan los errores de medición, la estimación se convierte menos precisa pero la solución es estable, es decir los errores de estimación permanecen limitados. En comparación con la parametrización constante por partes, la parametrización continua por partes conduce a una inversión más estables y precisa. Además, la variación de la conductividad también puede ser capturada en dos escalas espaciales reflejando sub-facies de una heterogeneidad de variación suave así como cambios abruptos en los límites de las facies. Al combinar la inversión con la simulación geoestadística puede cuantificarse la incertidumbre en la conductividad estimada y en el campo de carga hidráulica. Para un conjunto dado de medidas, la precisión de la inversión y la estimación de la incertidumbre con una parametrización continua por partes no son sensibles al incremento del contraste de conductividad.

摘要

研究了基于局部近似解法(LAS)的非均质含水层稳定态水流中的功能性反转。方法采用了一套水流局部近似解法(LAS)在解决方法中强行设定受限于有限的测量数据的水头和达西通量具有空间连续性。水力传导率第一次被参数化为分段连续的,水力传达率需要增加平滑限制条件来减少反转伪迹。作为一种选择,水力传导率用分段常数表达,因为其不需要平滑限制条件,但数据要求更高了。通过估算两个综合实例和一个油田渗透率剖面的一维水流展示了参数设定后反转的成功实例。当测量误差增加时,估算结果就欠精确,但解决方法稳定,也就是说,估算误差是有约束性的。与分段常数参数设定相比,分段连续参数设定导致更稳定和更精确的反转。此外,传导率变化也可在两个空间尺度上捕获,反映了亚相平滑-变化的异质及相边界的突变。通过把反转与地质统计模拟结合,可对估算的传导率和水头场中的不确定性进行定量化。对于特定的测量数集,分段连续参数设定的反转精确性和估算不确定性对增强的传导率对比不敏感。

Resumo

A inversão funcional baseada em soluções aproximadas locais (SAL) é desenvolvida para fluxo estacionário em aquíferos heterogéneos. O método emprega um conjunto de SAL para o fluxo, para impor a continuidade espacial da carga hidráulica e dos fluxos de Darcy no domínio da solução, que são condicionadas por medições limitadas. A condutividade hidráulica é primeiro parametrizada como troços contínuos, o que requer a introdução de um constrangimento de suavização para reduzir os artefactos da inversão. Em alternativa, é formulada como troços constantes, não sendo assim necessário o constrangimento de suavização, mas com uma maior exigência de dados. O sucesso da inversão com ambas as parametrizações é demonstrado pela estimativa de fluxos unidimensionais para ambos os exemplos sintéticos e para um perfil de permeabilidade num campo petrolífero. Quando os erros de medição são aumentados, a estimativa torna-se menos precisa, mas a solução é estável, isto é, os erros da estimativa permanecem delimitados. Comparando com a parametrização contante por troços, a parametrização continua por troços leva a uma inversão mais estável e precisa. Além disso, a variação da condutividade também pode ser captada em duas escalas espaciais, refletindo subfácies com variação de heterogeneidade suavizada, bem como mudanças abruptas nas fronteiras das fácies. Através da combinação da inversão com simulação geoestatística, podem ser quantificados a incerteza na condutividade estimada e o campo de carga hidráulica. Para um determinado conjunto de medições, a precisão da inversão e a incerteza das estimativas com a parametrização contínua por troços não é sensível ao aumento do contraste da condutividade.