Sur les a Algèbres Préhilbertiennes Vérifiant ∥a ²∥ ≤ ∥a∥²

Résumé.

Soit A une algèbre réelle sans diviseurs de zéro. On suppose que l’espace vectoriel A est muni d’une norme ∥.∥ préhilbertienne vérifiant ∥a ²∥ ≤ ∥a∥² pour tout $a \in A$. Alors A est de dimension finie dans chacun des quatre cas suivants :

• 1. A est commutative contenant un élément non nul a tel que ∥ax∥ = ∥a∥ ∥x∥ pour tout $x \in A$,

• 2. A est commutative algébrique et ∥a ²∥ = ∥a∥² pour tout $a \in A$,

• 3. A est alternative contenant un élément unité e tel que ∥e∥ = 1,

• 4. A est alternative contenant un élément central non nul a tel que ∥ax∥ = ∥a∥ ∥x∥ pour tout $x \in A$.

A est isomorphe à ${\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}$ ou $\mathop {\mathbb{C}} \limits^*$ dans les deux premiers cas et isomorphe à ${\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}, {\mathbb{H}}$ ou ${\mathbb{O}}$ dans les deux derniers cas.

Abstract.

Let A be a real algebra without divisor of zero. Assuming that a vector space A is endowed with a pre-Hilbert norm ∥.∥ satisfying ∥a ²∥ ≤ ∥a∥² for all $a \in A$. Then A is finite dimensional in the four following cases :

• 1. A is a commutative containing a nonzero element a such that ∥ax∥ = ∥a∥∥x∥ for all $x \in A$,

• 2. A is a commutative algebraic and ∥a ²∥ = ∥a∥² for all $a \in A$,

• 3. A is an alternative containing a unit element e such that ∥e∥ = 1,

• 4. A is an alternative containing a nonzero central element a such that ∥ax∥ = ∥ a∥∥x∥ for all $x \in A$.

A is isomorphic to ${\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}$ or $\mathop {\mathbb{C}} \limits^*$ in the two first cases and isomorphic to ${\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}, {\mathbb{H}}$ or ${\mathbb{O}}$ in the two last cases.