Das Bayes’sche Risiko bei sequentiellen Stichprobenentscheidungen

Zusammenfassung

Nach einer grundsätzlichen Betrachtung des Begriffs der Stichprobenentscheidung werden verschiedene Arten von Stichprobenentscheidungen definiert und in ein System von prozessualen Entscheidungen eingeordnet. Ein Beispiel demonstriert die Grundgedanken. Sodann wird das Entscheidungsproblem formuliert, und es werden einige entscheidungstheoretische Begriffe, die bei den weiteren Darlegungen benötigt werden, definiert.

Das Problem der Stichprobenentscheidungen wird alsdann im Rahmen der klassichen Statistik betrachtet und eine das Konzept der Signifikanztests benutzende Lösung des Problems vorgeschlagen.

Die Analyse des Bayes’schen Risikos bei sequentiellen Stichprobenentscheidungen, wenn mehrere mögliche Strategien mehreren möglichen Zuständen der Realität gegenüberstehen, beginnt mit der Verfahrensentscheidung, d.h. mit der Entscheidung der Alternative, ob überhaupt (vor der Wahl der Letztentscheidung) Stichproben gezogen werden sollen oder nicht. Insbesondere auf Grund graphischer Darstellungen werden zunächst Fälle betrachtet, bei denen eine Stichprobenletztentscheidung vor der Stichprobenziehung eine bessere Wahl ist als die Durchführung empirischer Beobachtungen. Die Bayes’schen Risiken werden hierbei auf Grund von A-priori-Wahrscheinlichkeiten bestimmt.

Auf Grund sequentieller Stichproben können — mit Hilfe des Bayes’schen Theorems, das kurz dargelegt wird — die A-priori-Wahrscheinlichkeiten in A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten verwandelt werden. Diese werden erneut zur Verfahrensentscheidung, die jetzt als Fortsetzungsentscheidung bezeichnet wird, herangezogen und dies beliebig oft bis zur Stichprobenletztentscheidung. Zwei Fälle (1. drei mögliche Letztentscheidungen, 2. vier mögliche Letztentscheidungen, bei jeweils zwei möglichen Zuständen der Realität) werden anhand graphischer Darstellungen analysiert. Es wir gezeigt, auf welche Weise die Anwendung des Bayes’schen Risiko-Konzepts zu der Entscheidung verhilft, entweder die empirischen Beobachtungen fortzusetzen oder die Stichprobenletztentscheidung zu treffen. Zum Schluß wird die Bestimmung der optimalen Stichprobengröße diskutiert.

Summary

After some fundamental considerations of the concept of sampling decision different kinds of sampling decisions are defined and are classified under a system of processual decisions. This is illustrated by an example. The decision problem is then formulated and some terms of decision theory, as will be required for the further explanations, are defined.

The problem of sampling decision is then considered in the frame of classical statistics and a solution utilizing the concept of test of significance is proposed.

The analysis of Bayes risks applied to sequential sampling decisions, when there are several possible strategies against several possible states of nature, begins with the operational decision, i.e. with the decision (before choosing the terminal decision) whether samples are to be drawn at all, or not. Cases have then been considered — particularly with the help of graphical representation — where to take a terminal sampling decision before drawing a sample is a better choice than to make observations. Here the Bayes risks are determined with the help of a-priori probabilities.

On the basis of sequential samples — employing Bayes theorem, laid down in short — the a-priori probabilities can be transformed into a-posteriori probabilities and are used for a new operational decision, that will now be termed as a continuation decision. It will be repeated as many times as are needed to arrive at the sampling terminal decision. Two cases (1. three possible terminal decisions, 2. four possible terminal decisions, each with two possible states of nature) are analysed graphically. It is shown, in which way the application of the Bayes risk helps in deciding whether to continue the observations or to take the terminal sampling decision. Finally, a discussion on the determination of the optimal sample size has been added.

Résumé

Après avoir pris en considération les fondements de la notion de « décision d’échantillonnage », différents types de décisions d’échantillonnage sont définis et rangés dans un système de décisions processuelles. Un exemple démontre les idées fondamentales. Ensuite le problème de décision est formulé et quelques notions de la théorie de la décision sont définies dont on aura besoin dans les exposés qui suivent.

Le problème de décision d’échantillonnage est alors étudié dans le cadre de la statistique classique et une solution du problème est proposée utilisant le concept des tests de signification.

L’analyse du risque bayesien des décisions séquentielles d’échantillonage, où plusieurs stratégies possibles sont confrontées à plusieurs possibles états de la réalité, commence avec la décision sur le procédé à suivre, i.e. avec la décision de l’alternative s’il faut faire un échantillonage ou pas du tout (avant de prendre la décision finale). En particulier par une représentation graphique on considère d’abord des cas dans lesquels il sera le meilleur choix de prendre la décision finale d’échantillonnage (c’est-à-dire terminant les échantillonnages)avant aucun échantillonage que de faire des observations empiriques. Les risques bayesiens y sont déterminés au moyen de probabilités a priori.

Au moyen d’échantillonnages séquentiels on peut transformer — suivant le théorème de Bayes qui est brièvement rappelé — les probabilités a priori en probabilités a posteriori et appliquer les dernières à une nouvelle décision sur le procédé à suivre, appelée décision de continuation. Cela peut se faire autant de fois qu’on veut jusqu’à la décision terminant l’échantillonage. Deux cas (1^o trois décisions finales possibles, 2^o quatre décisions finales possibles — contre deux possibles états de la réalité chaque fois) sont analysés moyennant des représentations graphiques. On montre de quelle manière l’application du concept du risque bayesien aide à obtenir la décision de continuer les observations empiriques ou de prendre la décision terminale d’échantillonage. Enfin la détermination de l’effectif optimal de l’échantillonnage est discutée.