InhomogeneousU _3,1-invariant extension of vacuum expectation values

Summary

The Minkowski spaceM _3,1 is represented in terms of the irreducible symmetric homogeneous spaceP ₀/L ₀, whereP ₀ andL ₀ are the identity components of the Poincaré groupP =L x)T and of the Lorentz groupL, respectively. A theorem is proved stating that all the irreducible symmetric complex extensionsM _3,1 ofM _3,1 are as follows: 1) a complex extension of orthogonal typeM ⁽¹⁾_3,1 whose group of all isometries is the groupP ⁽¹⁾ =L ⁽¹⁾ x)T, whereL ⁽¹⁾ andT are the complex extensions of the Lorentz groupL and of the translational groupT; 2) a complex extension of Hermitian typeM ⁽²⁾_3,1 whose group of all isometries is the groupP ⁽²⁾ =L ⁽²⁾ x)T =U _3,1 x)T965-1015. The implications of the above theorem for physical quantities depending on points of the Minkowski space are investigated for the case of theL ^↑-invariant (parity-conserving) vacuum expectation values of products of field operators,W _n(x ₁, …,x _n) =w _n(ξ ₁, …,ξ _n−1) = 〈ϕ ₁(x ₁) …ϕ _n(x _n)〉₀,ξ _k =x _k −x _k+1,k=1, 2, …,n − 1, satisfying the Wightman axioms. A theorem is proved which states that all the extensionsw _n (ξ ₁,η ₁; …;ξ _n−1,η _n−1) =w′ _n(z ₁, …,z _n−1) of then-point functionsw _n to complex 4-vectorsz _k =ξ _k −iη _k,k=1, 2, …,n, which i) are (real) analytic in all the real and imaginary componentsξ’s andη’s of thez’s; ii) admit the physicaln-point functions in the limit when all theη’s go to zero, iii) possess simple groups of complex transformations as global invariance groups; are as follows: 1) the extensionw ⁽¹⁾ _n (ξ ₁,η ₁; …;ξ _n−1,η _n−1) of the Bargman-Hall-Wightman theorem which is invariant under the connected componentP ⁽¹⁾₊ of the groupP ⁽¹⁾; 2) a new extensionw ⁽²⁾ _n (ξ ₁,η ₁; …;ξ _n−1,η _n−1) which is invariant under the full inhomogeneousU _3,1 groupP ⁽²⁾. The above results are extended to distributions in order to constructP ⁽²⁾ invariant analytic extensions of theL ^↑-invariant vacuum expectation values in the proper sense. Thew ⁽²⁾ _n extension of parity-violating vacuum expectation values is considered too, and in this case the global invariance group results to be the inhomogeneous unimodularSU _3,1 group. The proposed procedure could also be applied to include tensorial fields satisfying the Wightman axioms, but the inclusion of spinorial fields requires specific supplementary investigations starting, possibly, from the classification of all the complex extensions of the covering of the Minkowski space. Finally, some features of thew ⁽²⁾ _n extension, which might be suitable for possible physical applications, are pointed out.

Riassunto

Lo spazio di MinkowskiM _3,1 viene rappresentato mediante lo spazio omogeneo simmetrico ed irriducibileP ₀/L ₀, doveP ₀ edL ₀ sono le componenti connesse del gruppo di PoincaréP =L P =L x)T T e del gruppo di LorentzL, rispettivamente, contenenti l’unità. Si dimostra un teorema secondo cui tutte le estensioni complesse irriducibili e simmetricheM _3,1 diM _3,1 sono costituite da: 1) un’estensione complessa di tipo ortogonaleM ⁽¹⁾_3,1 il cui gruppo di tutte le isometrie è il gruppoP ⁽¹⁾ =L ⁽¹⁾ P ⁽¹⁾ =L ⁽¹⁾ x)T T, doveL ⁽¹⁾ eT sono le estensioni complesse del gruppo di LorentzL e del gruppo delle traslazioniT; 2) un’estensione complessa di tipo hermitianoM ⁽²⁾_3,1 il cui gruppo di tutte le isometrie è il gruppoP ⁽²⁾ =L ⁽²⁾ {T =U _3,1 {T. Si studiano le implicazioni di tale teorema per quantità fisiche che dipendono da punti dello spazio di Minkowski per il caso dei valori di aspettazione sul vuoto del prodotto di operatori di campo invarianti per il gruppoL↑ (conservanti la parità)W _n(x ₁, …,x _n) =w _n(ξ ₁, …,ξ _n−1) = 〈ϕ ₁(x ₁) …ϕ _n(x _n)〉₀,ξ _k =x _k −x _k+1,k=1, 2, …,n, che soddisfano gli assiomi di Wightman. Si dimostra un teorema secondo cui tutte le estensioniw _n(ξ ₁,η ₁; …;ξ _n−1,η _n−1) =w _n′(z ₁, …,z _n−1) della funzione adn puntiw _n a quadrivettori complessiz _k =ξ _k −iη _k,k=1, 2, …,n − 1, le quali: i) sono analitiche (nel senso di Weierstrass) in tutte le componenti reali ed immaginarie dei quadrivettoriz _k; ii) ammettono le funzioni adn punti fisiche al limite quando tutte le parti immaginarie sono nulle; iii) posseggono gruppi semplici di trasformazioni complesse come gruppi di invarianza globale; possono essere classificate come segue: 1) l’estensionew ⁽¹⁾ _n (ξ ₁,η ₁; …;ξ _n−1,η _n−1) del teorema di Bargman-Hall-Wightman che è invariante per la componente connessaP ⁽¹⁾₊ del gruppoP ⁽¹⁾; 2) una nuova estensionew ⁽²⁾ _n (ξ ₁,η ₁; …;ξ _n−1,η _n−1) la quale è invariante per l’intero gruppoP ⁽²⁾. I precedenti risultati sono estesi al caso di distribuzioni in maniera da costruire effettivamente le estensioni analitichew ⁽²⁾ _n diw _n invarianti per il gruppoP ⁽²⁾. Le estensioni di tipow ⁽²⁾ _n per il caso dei valori di aspettazioni sul vuoto che violano la parità sono considerate anche, e si dimostra che in questo caso il gruppo di invarianza globale è il gruppo unimodulare inomogeneoSU _3,1. Il metodo proposto può anche essere applicato al caso di operatori di campo tensoriali che soddisfano gli assiomi di Wightman, mentre la inclusione di operatori di campo spinoriali richiede studi supplementari specifici partendo, possibilmente, dalla classificazione di tutte le estensioni complesse dello spazio di ricoprimento dello spazio di Minkowski. Infine, si sottolineano alcune caratteristiche delle estensioni di tipow ⁽²⁾ _n suscettibili di possibili applicazioni fisiche.

Реэюме

Пространство МинковскогоМ _3,1 представляется в терминах неприводимого симметричного однородного продтранстваР ₀/L ₀, гдеР ₀ иL ₀ обоэначают единичные компоненты группы ПуанкареР =L ⊗Т и группы ЛорентцаL, соответственно. Докаэывается теорема, утверждаюшая, что все неприводимые симметричные комплексные обобшенияМ _3,1 дляМ _3,1 составляют: 1) комплексные обобшения ортогонального типаМ ⁽¹⁾_3,1 чья группа всех иэометрий представляет группуР ⁽¹⁾ =L ⁽¹⁾ ⊗Т, гдеL ⁽¹⁾ иТ есть комплексные обобшения группы ЛорентцаL и трансляционной группыТ; 2) комплексное обобшение зрмитового типаМ ⁽¹⁾_3,1 , чья группа всех иэометрий представляет группуР ⁽²⁾ =L ⁽²⁾ ⊗Т =U _3,1 ⊗Т. Рассматриваются следствия выщеприведенной теоремы для фиэических величин, эависяших от точек пространства Минковского для случаяL↑ инвариантных (сохраняюших четность) вакуумных ожидаемых эначений проиэведений полевых операторов,W _n(x ₁, …,x _n =w _n(ξ₁, , ξ _n-1) = <ϕ₁(x ₁) … ϕ _n (x _n)>₀, ξ _k =x _k -x _k+1,k=1, 2, …,n - 1, удовлетворяюших аксиомам Ваитмана. Докаэывается теорема, которая утверждает, что все обобшенияw _n(ξ₁, η₁; ; ξ _n−1, η _n−1) =u ^J_n (z ₁, ,z _n-1) n-точечных функцийw _n на комплексные 4-векторыz _k = ξ _k -iη _k ,k=1, 2, …,n, которые:а) являются (вешественными) аналитическими для всех вешественных и мнимых компонентξ иη для каждогоz;б) допускают фиэическиеn-точечные функции в пределе, когда всеη стремятся к нулю; б) обладают простыми группами комплексных преобраэований, как группы глобальной иа ариантности, представляют следуюшее: 1) обобшениеw ^/(2) _n (ξ₁, η₁; … ξ _n-1, η _n-1) теоремы Баргмана-Холла-Вайтм ана, которая инвариантна относительно свяэанной компонентыР ⁽¹⁾₊ группыР ⁽¹⁾; 2) новое обобшениеw ^/(2) _n (ξ ₁, η₁; …;ξ _n-1,η _n-1), которое инвариантно относительно полностью неоднороднойU _3,1 группыР ⁽²⁾. Полученные реэультаты распространяются на распределения, для того чтобы сконструироватьР ⁽²⁾ инвариантные аналитические обобшенияL↑ инвариантных вакуумных ожидаемых величин в собственном смысле. Также рассматриваетсяw ^/(2) _n обобшение вакуумных ожидаемых величин, нарущаюших четность. В зтом случае получается, что группа глобальной инвариантности представляет неоднородную унитарнуюSU _3,1 группу. Данная процедура может быть также испольэована для того, чтобы включить тенэорные поля, удовлетворяюшие аксиомам Ваитмана. Однако, включение спинорных полей требует специальных дополнительных исследований, воэможно, исходя иэ классификации всех комплексных обобшений оболочки пространства Минковского. В эаключение, укаэываются некоторые особенности обошенияw ^/(2) _n , которые могут быть приемлемыми для воэможных фиэических приложений.