Grundgleichungen der Stereologie I

Zusammenfassung

Die bekannten stereologischen Formeln zur Bestimmung der Dichte des Volumens und der Dichte der Oberfläche und die Formeln für die Dichte des Integrals der mittleren Krümmung und derjenigen derEulerschen Charakteristik werden für räumliche Konvexringstrukturen integralgeometrisch begründet. Es zeigt sich, daß die topologisch-metrische Dichte derEulerschen Charakteristik nicht durch Messungen und Auszählungen an unterdimensionalen Stichproben bestimmt werden kann. Die für ebene und lineare Strukturen gültigen Formeln ergeben sich in gleicher Weise. Außerdem werden dieBuffonschen Formelsysteme, die zur Bestimmung der fundamentalen Maßzahlen von Körpern des Konvexrings im Raum oder von Bereichen in der Ebene herangezogen werden können, hergeleitet.

Abstract

The wellknown stereologic formulae, which allow the determination of the density of volume and of surface and those for the density of the integral of mean curvature and those of theEulerian characteristic are proven to be valid for spacial convex-ring structures with the aid of integral geometry. It is shown that the topologic-metric density of theEulerian characteristic cannot be determined by measuring and counting of subdimensional samplings. In the same manner the formulae which apply to planar and linear structures may also be derived.

In addition, the systems ofBuffon’s formulae, which may be used to determine the fundamental quantities of bodies of the convex-ring in space or of domains in a plane, are derived.