A remark on robustness of linear best estimates

Summary

Let ξ(t) be a random process with correlation functionB ₀, defining a norm ‖ ‖₀, and letη ₀ (ξ) be the best linear estimate of some unknown value ξ of the process ξ(t). SupposeB ₀ is not known and a “pseudobest” estimateη ₁ (ξ) is obtained under some hypothetic correlationB ₁ giving the norm ‖ ‖₁. Then, denoting by

$$\begin{gathered} \sigma _0 = \parallel \xi - \eta _0 (\xi )\parallel _0 , \hfill \\ \sigma (B_1 ) = \parallel \xi - \eta _1 (\xi )\parallel _0 , \hfill \\ \sigma _1 (B_1 ) = \parallel \xi - \eta _1 (\xi )\parallel _1 , \hfill \\ \end{gathered} $$

the corresponding least square errors, the following robustness property holds true under a rather general assumption:

$$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \mathop { \sup }\limits_{|B_1 - B_0 | \leqslant h} \sigma _1 (B_1 ) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \mathop { \sup }\limits_{|B_1 - B_0 | \leqslant h} \sigma (B_1 ) = \sigma _0 ,$$

whereh→0 means pointwise convergence.

Zusammenfassung

ξ(t) sei ein stochastischer Prozess mit der KorrelationsfunktionB ₀, die eine Norm ‖ ‖₀ definiert, und es seiη ₀ (ξ) der beste lineare Schätzer eines unbekannten Wertes ξ des Prozesses ξ (t). Angenommen,B ₀ ist nicht bekannt, und ein „pseudobester” Schätzerη ₁ (ξ) wird bestimmt unter einer hypothetischen KorrelationB ₁, die die Norm ‖ ‖₁, definiert. Wenn dann

$$\begin{gathered} \sigma _0 = \parallel \xi - \eta _0 (\xi )\parallel _0 , \hfill \\ \sigma (B_1 ) = \parallel \xi - \eta _1 (\xi )\parallel _0 , \hfill \\ \sigma _1 (B_1 ) = \parallel \xi - \eta _1 (\xi )\parallel _1 \hfill \\ \end{gathered} $$

die entsprechenden kleinsten Fehler bezeichnen, so gilt unter einer recht allgemeinen Voraussetzung die folgende Robustheitsaussage:

$$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \mathop { \sup }\limits_{|B_1 - B_0 | \leqslant h} \sigma _1 (B_1 ) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \mathop { \sup }\limits_{|B_1 - B_0 | \leqslant h} \sigma (B_1 ) = \sigma _0 ,$$

wobeih→0 die punktweise Konvergenz bedeutet.