A simple reliable solver for all the roots of a nonlinear function in a given domain

Abstract

A simple and reliable solver based on an exclusion method is formulated to find all the zeros of a nonlinear function in a given bounded domainD. The algorithm automatically searchesD and returns small domains which contain all the zeros inD up to some prespecified accuracy ε. The Running Time isO(log1/ε)when two simple exclusion functions are implemented in the solver. Global information in the form of bounds on derivatives,M, is employed in these exclusion functions. This guarantees a reliable result without the risk of missing any zeros. The concept of a Dominating Function is introduced and an algorithm is formulated which computesM on every subdomaind inD automatically and efficiently. Pre-processing can be used for a class of functions to find a bounded subdomain ofD (which may itself be unbounded) which contains all the zeros inD. Three computational examples are given.

Zusammenfassung

Ein einfaches und zuverlässiges Verfahren zur Nullstellenbestimmung nichtlinearer Funktionen in einem beschränkten GebietD wird formuliert. Die Methode basiert auf einem Ausschließungsprinzip; der Algorithmus untersuchtD und liefert als Resultat kleine Teilgebiete vonD, die alle Nullstellen enthalten. Diese Gebiete bestimmen die Nullstellen bis auf eine im voraus festgelegte Genauigkeit ε. Für den Fall, daß zwei einfache Ausschließungsfunktionen verwendet werden, ist die Laufzeit von der GrößenordnungO(log1/ε). In die Konstruktion der Ausschließungsfunktionen geht globale Information in Form einer SchrankeM für die Ableitungen der Funktion ein. Dies garantiert ein zuverlässiges Verfahren, das alle Nullstellen erfaßt. Der Begriff einer dominanten Funktion wird eingefülhrt, und ein Algorithmus, der auf jedem Teilgebietd vonD die benötigte SchrankeM effektiv berechnet, wird angegeben. Durch Vorausüberlegungen ist es mönglich, für gewisse Funktionenein beschränktes TeilgebietD eines möglicherweise unbeschränkten Definitionsgebietes zu konstruieren, das alle Nullstellen enthält. Das Verfahren wird an drei Beispielen numerisch illustriert.