Zusammenfassung
Es wird die stationäre Irrfahrt eines Punktes in einem mehrdimensionalen Raum betrachtet (das Wortstationär soll bedeuten, daß die Wahrscheinlichkeit des Übergangs aus einer LageP in eine MengeM nur vonP undM, nicht aber von der Zeit und von der Vorgeschichte des wandernden Punktes abhängen soll). Es wird festgestellt, daß die Wahrscheinlichkeitu(P) dafür, daß der wandernde Punkt, vonP ausgehend, ein GebietG⊃P zum ersten Male in einem Punkte eines vorgegebenen Teils seiner Begrenzung verläßt, im Limes einer partiellen Differentialgleichung von elliptischem Typus genügt. Die Ermittlung vonu(P) wird als ein Spezialfall einer allgemeineren Aufgabe (“Verallgemeinertes Dirichletsches Problem”) aufgefaßt. Dieselbe Methode, die zur Aufstellung des erwähnten wahrscheinlichkeitstheoretischen Grenzwertsatzes führt, erlaubt dann, die Möglichkeit der angenäherten Lösung des Dirichletschen Problems in einem Raum von beliebig vielen Dimensionen mittels Differenzengleichungen zu beweisen.
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References
Ganz ähnliche Betrachtungen gelten auch im mehrdimensionalen Raum; nur der kürzeren Schreibweise halber ist hier der zweidimensionale Fall gewählt.
Vgl. A. Kolmogoroff, Math. Annalen104 (1931), S. 415–458, auch betreffs der im folgenden benutzten Bezeichnungen.
R. Lüneburg, Das Problem der Irrfahrt ohne Richtungsbeschränkung und die Randwertaufgabe der Potentialtheorie, Math. Annalen104 (1931), S. 700–738.— Der Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Randwertproblemen elliptischer partieller Differentialgleichungen wurde schon seit einer Reihe von Jahren von Herrn R. Courant in Göttingen betont. Die Durchführung dieser Ideen wurde, abgesehen von einigen Bemerkungen in der Arbeit, “Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik” von R. Courant, K. Friedrichs und H. Lewy, Math. Annalen100, S. 32 ff., in der zitierten Dissertation von R. Lüneburg gegeben. (Vgl. auch den in Vorbereitung befindlichen Band II der “Methoden der mathematischen Physik” von Courant und Hilbert.) Die vorliegende Arbeit bezieht sich auf das Problem in seiner vollen Allgemeinheit.
Selbstverständlich kann hier und im Wortlaut der Bedingung die ausgezeichnetex-Richtung durch eine beliebige andere ersetzt werden.
Die Methode der oberen und unteren Funktionen ist in ihrer Grundidee zuerst von Herrn O. Perron [vgl. Math. Zeitschr.18 (1923), S. 42–54, Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu=0] eingeführt und benutzt worden.
Wie in § 3 könnte man die Voraussetzungen dahin verallgemeinern, daßv(x) außerhalbJ als eine beliebige begrenste, meßbare und ina undb stetige Funktion vorgegeben wird.
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Petrowsky, I. Über das Irrfahrtproblem. Math. Ann. 109, 425–444 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01449148
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