On zero sets of harmonic and real analytic functions

Abstract

In this paper we study some questions related to the zero sets of harmonic and real analytic functions in ${\mathbb {R}}^N$. We introduce the notion of analytic uniqueness sequences and, as an application, we show that the zero set of a non-constant real analytic function on a domain always has empty fine interior. We also prove that, for a certain category of sets $E\subset {\mathbb {R}}^N$ (containing the finely open sets), each function f defined on E is the restriction of a real analytic (respectively harmonic) function on an open neighbourhood of E if and only if f is “analytic (respectively harmonic) at each point” of E.

Résumé

Dans cet article nous étudions quelques questions liées aux ensembles des zéros de fonctions harmoniques où analytiques réelles dans ${\mathbb {R}}^N$. Nous introduisons la notion de suite d’unicité analytique et, comme application, nous montrons que l’intérieur fin de l’ensemble des zéros d’une fonction analytique réelle dans un domaine est toujours vide. Nous montrons aussi que, pour une certaine catégorie d’ensemble E de ${\mathbb {R}}^N$ (incluant les ouverts fin), une fonction f définie sur E est la restriction d’une fonction analytique réelle (respectivement harmonique) sur un voisinage ouvert de E si et seulement si f est “analytique (respectivement harmonique) en chaque point” de E.