The Eisenstein cocycle and Gross’s tower of fields conjecture

Abstract

This paper is an announcement of the following result, whose proof will be forthcoming. Let F be a totally real number field, and let $F \subset K \subset L$ be a tower of fields with L / F a finite abelian extension. Let I denote the kernel of the natural projection from $\mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(L/F)]$ to $\mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(K/F)]$. Let $\Theta \in \mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(L/F)]$ denote the Stickelberger element encoding the special values at zero of the partial zeta functions of L / F, taken relative to sets S and T in the usual way. Let r denote the number of places in S that split completely in K. We show that $\Theta \in I^{r}$, unless K is totally real in which case we obtain $\Theta \in I^{r-1}$ and $2\Theta \in I^r$. This proves a conjecture of Gross up to the factor of 2 in the case that K is totally real and $\#S \ne r$. In this article we sketch the proof in the case that K is totally complex.

Résumé

Ce papier est une annonce du résultat suivant, dont la preuve est imminente. Soit F un corps de nombres totalement réel, et soit $F \subset K \subset L$ une tour d’extensions, où l’extension L / F est abélienne finie. Soit I le noyau de la projection naturelle de $\mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(L/F)]$ vers $\mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(K/F)]$. Soit $\Theta \in \mathbf {Z}[\mathrm{Gal}(L/F)]$ l’élément de Stickelberger qui encode les valeurs spéciales en zéro des fonctions zêta partielles de L / F, prise par rapport à des ensembles S et T de places de F de la manière usuelle. Soit r le nombre de places dans S qui sont totalement déployées dans K. Nous démontrons que $\Theta \in I^r$, à moins que K ne soit totalement réel auquel cas nous obtenons $\Theta \in I^{r-1}$ et $2 \Theta \in I^r$. Ceci démontre une conjecture de Gross, à un facteur de 2 près dans le cas où K est totalement réel et $\#S \ne r$. Dans cet article, nous esquissons une preuve dans le cas où l’extension K est totalement complexe.