Erweiterung der Hillschen Gleichungen auf Ellipsenbahnen

Zusammenfassung

Die Relativbewegung benachbarter Satelliten lässt sich durch die Hillschen Gleichungen, auch Clohessy-Wiltshire-Gleichungen genannt, in einfacher und anschaulicher Weise beschreiben. Dabei wird angenommen, dass sich der erste Satellit auf einer Kreisbahn bewegt. Auf diese Einschränkung wird hier verzichtet und so werden für den Referenzsatelliten Ellipsenbahnen zugelasssen. Für die Relativbewegung des zweiten Satelliten werden ganz analog die linearisierten Bewegungsgleichungen aus den nichtlinearen Grundgleichungen für Keplerbahnen gewonnen und in Abhängigkeit der Anfangsbedingungen gelöst. Für Referenzbahnen mit kleiner Exzentrizität können auch hier explizite Funktionen der Zeit, wenn auch als Näherungslösungen, angegeben werden. In numerischen Beispielen wird das Bewegungsverhalten dargestellt und mit Lösungen der Hillschen Gleichungen quantitativ und qualitativ verglichen. Durch Vergleiche mit den exakten Lösungen für Keplerbahnen werden die gewonnenen Näherungen untermauert. Für allgemeine Ellipsenbahnen wird mit Hilfe der Lösungen von Lawden, die lediglich als Funktionen der wahren Anomalie gegeben sind, für die Driftbewegung des zweiten Satelliten eine lineare Zeitfunktion angegeben und durch numerische Beispiele bestätigt. Anwendungen finden die Gleichungen u. a. in der Mikrogravitation, bei Formationsflügen von Satelliten, bei Rendezvous-Problemen und beim Einsammeln von Weltraumschrott.

Abstract

The relative motion of two nearby satellites may be described by Hill’s equations, also known as Clohessy Wiltshire equations, in a simple elementary and descriptive manner. As a restriction a circular orbit of the master satellite is assumed. This restriction will be dropped here and so elliptical orbits for the master satellite are permitted. In a similar manner the relative motion of the second satellite is described by linear differential equations derived from the nonlinear equations for Keplerian orbits and solved in dependency on the initial conditions. In the case of small eccentricity of the reference orbit explicit functions of time may be derived as approximate solutions. The relative motion of the second satellite is presented by numerical examples. The solutions are compared with those of Hill’s equations quantitatively and qualitative. The solutions are validated by comparison with the exact solutions of Keplerian orbits. Using the solutions of Lawden, which are given as functions of the true anomaly, a linear function of time for the drift motion is presented here and confirmed by numerical examples. In practice the equations are used in micro-gravity, formation flying of satellites, in rendezvous problems and by collecting space debris.