Einleitung

Bei der hydrogeologischen Erkundung geschichteter Aquifere ist es in der Praxis aus finanziellen und zeitlichen Gründen oft nicht möglich, für die einzelnen Schichten eine gesonderte Bestimmung der hydraulischen Durchlässigkeitsbeiwerte (kf-Werte) durchzuführen. Stattdessen werden die Grundwassermessstellen über die gesamte Aquifermächtigkeit verfiltert und aus Pumpversuchen die Transmissivität des Aquifers bestimmt und daraus ein mittlerer kf-Wert des Aquifers berechnet.

Nachfolgend wird ein einfaches Verfahren beschrieben, mit dem die kf-Werte der einzelnen Schichten bestimmt werden können. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Mächtigkeiten der einzelnen Schichten sowie die Transmissivitäten aus den Pumpversuchen bekannt sind und die Anzahl der Pumpversuche größer oder gleich der Anzahl der Schichten ist.

Theoretische Grundlagen

Die Transmissivität T eines Aquifers berechnet sich aus dem kf-Wert und der Aquifermächtigkeit MFootnote 1 (Kinzelbach und Rausch 1995). Es gilt:

$$T=kfxM$$
(1)

Bei mehreren, m Schichten ergibt sich die Transmissivität zu:

$$T={\sum }_{j=1}^{m}k_{fj}xM_{j}$$
(2)

Bei n Pumpversuchen mit den gemessenen T‑Werten Ti und bekannten Schichtmächtigkeiten Mij an den Grundwassermessstellen lassen sich die kfj wie folgt berechnen. Voraussetzung hierfür ist, dass die Anzahl der Grundwassermessstellen mit Pumpversuchen (n) größer oder gleich der Anzahl m der Schichten ist.

Für jeden Pumpversuch i bekommt man eine Gleichung:

$${\sum }_{j=1}^{m}k_{fj}xM_{ij}=T_{i},i=1,\ldots ,n$$
(3)

wobei die Mij die Schichtmächtigkeiten an der Stelle des i‑ten Pumpversuchs und die Ti die aus dem i‑ten Pumpversuch berechneten Transmissivitäten sind.

Insgesamt hat man mit Gl. 3 also ein für n > m überbestimmtes lineares Gleichungssystem mit der bekannten n × m-Koeffizienten-Matrix M = (Mij), dem bekannten Vektor t = (Ti) der n rechten Seiten und den m Unbekannten k = (kfj). In Matrix/Vektor-Schreibweise:

$$M\times k=t$$
(4)

Dieses Gleichungssystem kann wegen seiner Überbestimmtheit für n > m nicht exakt gelöst werden. Man kann aber eine Least-Squares-Lösung finden, welche die Summe der Fehlerquadrate minimiert (Wikipedia contributors 2021 „Least Squares“). Man löst also das Minimierungsproblem:

$$\min _{k|k_{fj}\geq 0}\left(M\times k-t\right)^{2}$$
(5)

wobei mit x2 das Skalarprodukt des Vektors x mit sich selbst gemeint ist, also \(x^{2}=\sum _{i}{x_{i}}^{2}\).

Für solche Minimierungsprobleme gibt es eine Reihe mathematischer numerischer Verfahren, deren Konvergenz im Allgemeinen von einer ausreichenden Qualität der Startwerte abhängig ist. Zu solchen Startwerten kann man kommen, indem man aus den n Gleichungen 3 m „typische“ auswählt und dieses nunmehr nicht mehr überbestimmte lineare Gleichungssystem exakt löst.

Lösung mit Excel

Es ist möglich, das Problem (Gl. 5) mit Microsoft Excel zu lösen. Excel beinhaltet einen Solver, der eine beliebige Zielfunktion, die von m Variablen abhängt, minimieren kann. Damit der Solver zur Verfügung steht, muss man einmal in den Excel-Optionen Add-Ins die Analyse-Funktionen aktivieren.

Die hier dargestellte Excel-Arbeitsmappe kann auch von ResearchGate heruntergeladen werden. Der entsprechende Link lautet: https://www.researchgate.net/publication/356192901_Excel_Berechnung_der_kf-Werte_geschichteter_Aquifere_aus_geologischem_Profil_und_Transmissivitat.

In einem Excel-Arbeitsblatt trägt man die Matrix M = (Mij) der Mächtigkeiten in einen rechteckigen n × m-Bereich und die gemessenen Transmissivitäten t = (Ti) in einen vertikalen Bereich der Länge n ein. In einen vertikalen Bereich der Länge m trägt man die Startwerte k = (kfj) für die unbekannten kf-Werte ein. Sinnvollerweise gibt man den Bereichen Namen, z. B.: „M_“, „t_“, „k_“, usw.

In einer weiteren Spalte der Länge n mit Namen „Mks_“ berechnet man die Auswertungen der linken Seiten der GleichungenFootnote 2:

  • M * k {= MMULT(M; k_) }

und in einer weiteren Spalte mit Namen „errs_“ die quadrierten Abweichungen von t:

  • (M * k−t)2 {= (Mks_−t_)^2 }

Schließlich in einer Zelle mit Namen „ziel_“ die Summe dieser quadrierten Abweichungen.

  • (M * k−t)2 = SUMME(errs_)

Das Arbeitsblatt sieht dann wie in Abb. 1 aus.

Abb. 1 Fig. 1
figure 1

Excel-Daten mit Startwerten

Excel data with starting values

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Nach Aufruf des Solvers im Analyse-Bereich des Menüs „Daten“ stellt man dort als „Solver-Parameter“ Ziel, Min, Variablenzellen, nicht-negativ und die Lösungsmethode „GRG-Nichtlinear“ ein, sowie eventuell die allgemeinen und die GRG-Optionen (Abb. 2, bzw. Abb. 3).

Abb. 2 Fig. 2
figure 2

Solver-Parameter

Solver parameters

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Abb. 3 Fig. 3
figure 3

Solver-Einstellungen

Solver settings

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Nach erfolgreicher Lösung erscheint ein Dialog „Solver-Ergebnisse“, auf dem man die Solver-Lösung akzeptiert und mit OK schließt.

Das Arbeitsblatt hat jetzt die gefundenen besten kf-Werte in k (Abb. 4).

Abb. 4 Fig. 4
figure 4

Excel-Lösung

Excel solution

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Fallbeispiel

Im Rahmen eines Grundwasserschadensfalls wurde ein Talgrundwasserleiter hydrogeologisch erkundet. Der Grundwasserleiter besteht aus pleistozänen Kiesen, Sanden und tonigen Schluffen, die genetisch als fluviatile Ablagerungen eines mäandrierenden Flusssystems zu deuten sind. Die Aquifermächtigkeit der Talsedimente variiert von Mj = 11 bis 15 m.

Zur Erkundung der Grundwasserverhältnisse insbesondere der hydraulischen Durchlässigkeit des Aquifers und der Schadstoffverteilung im Grundwasser wurden sieben Bohrungen abgeteuft und als Grundwassermessstellen ausgebaut. Alle Bohrungen reichen bis zur Aquifersohle, die durch gering durchlässige Tonsteine gebildet wird. Die Grundwassermessstellen sind über die gesamte Aquifermächtigkeit verfiltert.

Bei der geologischen Profilaufnahme konnten in den Bohrungen vier verschiedene lithologische Einheiten unterschieden werden. Im Einzelnen sind dies toniger Schluff, Feinsand, Mittelsand und sandiger Kies. Die zugehörigen lithologischen Einheiten und ihre Mächtigkeiten sind in Tab. 1 dargestellt. Daneben sind für die Grundwassermessstellen die Transmissivitäten aus der Auswertung von Pumpversuchen, die in den Grundwassermessstellen durchgeführt wurden, aufgeführt.

Tab. 1 Table 1 Profile der Grundwassermessstellen 1 bis 7 mit Angaben zur Lithologie und Mächtigkeit der einzelnen Schichtglieder sowie der aus Pumpversuchen ermittelten TransmissivitätenProfiles of the groundwater observation points 1 to 7 with information on lithology and thickness of the individual layers as well as the transmissivities determined from pumping tests
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Aus Gln. 3 und 4 ergeben sich sieben Gleichungen für vier unbekannte kf. Die Excel-Lösung ist in Abb. 4 unter Excel-Lösung dargestellt. Im Einzelnen wurden für die Schichten die folgenden kf-Werte ermittelt: kf-Feinsand = 2,14 E−04 m/s, kf-Mittelsand = 9,97 E−04 m/s, kf-sandiger Kies = 5,02 E−03 m/s und kf-toniger Schluff = 0,00 m/s.

Diese kf-Werte stimmen gut mit Messwerten aus Labortests zur Durchlässigkeit der einzelnen Schichten überein, wo die folgenden Durchlässigkeitsbeiwerte ermittelt wurden: kf-Feinsand = 2,0 E−04 m/s, kf-Mittelsand = 1,0 E−03 m/s, kf-sandiger Kies = 5,0 E−03 m/s und kf-toniger Schluff = 1,0 E−07 m/s.

Die gefundene Excel-Lösung ist also sehr gut. Allerdings wird der sehr kleine Wert für kf-toniger Schluff zu 0 statt 1,0 E−07 m/s gefunden.