Le diamètre et la traversale: dans l’atelier de Girard Desargues

Le discours mathématique est une pensée qui veut se faire comprendre d’une autre pensée en lui devenant transparente.

Vladimir Jankélévitch, La Musique et l’Ineffable

Résumé

Le Brouillon Project de Girard Desargues sur les coniques développe, dans sa partie centrale, la notion de traversale, notion qui généralise celle de diamètre d’Apollonius et permet d’unifier le traitement des diverses espèces de coniques. Il est souvent écrit qu’il s’agit là d’un équivalent de la polaire, concept émergeant au début du $\hbox {XIX}{}^{\mathrm{e}}$ siècle. Nous allons dans cet article explorer en détail les passages du texte de Desargues qui traitent de la traversale et de ses propriétés et montrer comment, en tenant compte des notes ajoutées postérieurement à la rédaction du premier jet du Brouillon, on peut y reconstituer la naissance d’une nouvelle théorie, à savoir une théorie projective de la polarité associée à une conique. Nous verrons qu’outre une correspondance naturelle entre points et droites, Desargues a compris qu’une conique induisait, sur chaque droite du plan, une involution et nous montrerons comment il vient progressivement à bout des difficultés conceptuelles considérables auxquelles il doit faire face pour exprimer clairement ses idées novatrices.

Abstract

In his Brouillon Project on conic sections, Girard Desargues studies the notion of traversale, which generalizes that of diameter introduced by Apollonius. One often reads that it is equivalent to the notion of polar, a concept that emerged in the beginning of 19th century. In this article we shall study in great detail the developments around that notion in the middle part of the Brouillon project. We shall in particular show, using the notes added by Desargues after the first draft was written, how here arises a new theory, that of the polarity associated to a conic section. We shall show that besides a natural correspondance between points and lines, Desargues has understood that a conic induces on every line in its plane an involution, and how he progressively handles the considerable conceptual difficulties he has to deal with when trying to explain clearly his novative ideas.

Appendice : la théorie de la polarité dans le langage contemporain de la géométrie projective

Les traités modernes de géométrie projective ou de géométrie des coniques définissent directement les coniques à partir des formes quadratiques, approche qui donne immédiatement la notion de polaire, permettant d’arriver très rapidement et simplement aux résultats les plus profonds concernant les coniques, à l’exception des plus difficiles démontrés au dix-neuvième siècle comme le « porisme » de Poncelet⁷⁶ ou le théorème d’énumération de Chasles.⁷⁷

La théorie des coniques ne faisant plus partie du cursus mathématique depuis quelques décennies, nous allons ici, pour la commodité du lecteur, en rappeler quelques-uns des grands traits, en nous centrant sur la théorie de la polarité. Cet appendice se veut aussi un plaidoyer pour le retour de la théorie projective des coniques dans les programmes de mathématiques des premiers et seconds cycles universitaires, comme mise en pratique de la théorie des formes bilinéaires et de la dualité vectorielle.

Mais commençons par une mise en bouche : selon la définition antique, une surface conique ou cône est l’union des droites passant par un sommet $\hbox {S}$ et par les points d’un cercle inclus dans un plan ne contenant pas $\hbox {S}$. Choisissons un repère affine dont $\hbox {S}$ soit l’origine et dont les axes de coordonnées, que l’on peut supposer orthonormés, sont tels que le cercle soit décrit par les deux équations $z=1$ et $x^2+y^2=r^2$. L’équation du cône s’obtient alors simplement en homogénéïsant l’équation du cercle : $x^2+y^2-r^2z^2=0$. À la vue de cette équation, il semble naturel d’introduire l’étude des coniques par l’étude des formes quadratiques.

1.1 Formes quadratiques, formes bilinéaires, dualités

Dans toute la suite et afin de nous placer dans le cadre classique de la théorie des coniques, nous considèrerons que $\hbox {E}$ est un espace vectoriel réel de dimension 3, même si une bonne partie de notre propos s’étend sans peine à bien d’autres cas. Nous noterons $\hbox {E}^*$ le dual de $\hbox {E}$.

On dit qu’une application q de $\hbox {E}$ dans $\mathbf {R}$ est une forme quadratique si, exprimée en coordonnées dans une base (et cela sera alors vrai dans toute base), q est un polynôme homogène de degré 2. Notons $\mathop {\mathcal {Q}}\nolimits (\hbox {E})$ l’espace vectoriel des formes quadratiques sur $\hbox {E}$.

Une application $\phi$ de $\hbox {E}\times \hbox {E}$ dans $\mathbf {R}$ est une forme bilinéaire si pour tout vecteur $\mathbf {v}$ de $\hbox {E}$, les deux applications

$$\begin{aligned} \mathbf {w}\mapsto \phi (\mathbf {v},\mathbf {w})\;\text{ et }\;\mathbf {w}\mapsto \phi (\mathbf {w},\mathbf {v}) \end{aligned}$$

sont des formes linéaires. Notons $\mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits (\hbox {E})$ l’espace vectoriel des formes linéaires sur $\hbox {E}$.

Soit t un élément du produit tensoriel $\hbox {E}^*\otimes _{\mathbf {R}}\hbox {E}^*$ ; on peut écrire t comme combinaison linéaire de tenseurs purs, à savoir

$$\begin{aligned} t=\sum _i f_i\otimes g_i, \; f_i,g_i\in E^*, \end{aligned}$$

et il induit donc une forme bilinéaire $\phi _t$ sur $\hbox {E}$ de la manière suivante : 

$$\begin{aligned} \phi _t(\mathbf {v},\mathbf {w})=\sum _i f_i(\mathbf {v})g_i(\mathbf {w}). \end{aligned}$$

On réalise ainsi un isomorphisme naturel entre $\mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits (\hbox {E})$ et $\hbox {E}^*\otimes \hbox {E}^*$.⁷⁸

Une forme bilinéaire $\phi \in \mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits (\hbox {E})$ est symétrique si pour tous vecteurs $\mathbf {v},\mathbf {w}$ de $\hbox {E}$ on a

$$\begin{aligned} \phi (\mathbf {v},\mathbf {w})=\phi (\mathbf {w},\mathbf {v}). \end{aligned}$$

Elle est alternée⁷⁹ si pour tout vecteur $\mathbf {v}$ on a

$$\begin{aligned} \phi (\mathbf {v},\mathbf {v})=0. \end{aligned}$$

Les formes bilinéaires symétriques forment un sous-espace noté $\mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits ^s(\hbox {E})$ et les formes alternées un sous-espace noté $\mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits ^a(\hbox {E})$. Toute forme bilinéaire sur $\hbox {E}$ se décompose de manière unique en la somme d’une forme symétrique et d’une forme alternée, de sorte que

$$\begin{aligned} \mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits (\hbox {E})=\mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits ^s(\hbox {E})\oplus \mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits ^a(\hbox {E}), \end{aligned}$$

et cette décomposition se traduit dans l’espace $\hbox {E}^*\otimes \hbox {E}^*$ par une décomposition analogue : 

$$\begin{aligned} \hbox {E}^*\otimes \hbox {E}^*=(\hbox {E}^*\odot \hbox {E}^*)\oplus (\hbox {E}^*\wedge \hbox {E}^*). \end{aligned}$$

Si $\phi$ est une forme bilinéaire sur $\hbox {E}$, elle définit sur $\hbox {E}$ une forme quadratique $q_\phi$ en posant

$$\begin{aligned} q_\phi (\mathbf {v})=\phi (\mathbf {v},\mathbf {v}). \end{aligned}$$

L’application $\phi \mapsto q_\phi$ est linéaire et son noyau est l’espace des formes alternées. Ainsi elle réalise un isomorphisme naturel entre $\mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits ^s(\hbox {E})$ et $\mathop {\mathcal {Q}}\nolimits (\hbox {E})$. On peut expliciter sa réciproque : si $q\in \mathop {\mathcal {Q}}\nolimits (\hbox {E})$, la forme polaire de la forme quadratique q est la forme bilinéaire symétrique $\phi _q$ définie par

$$\begin{aligned} \phi _q(\mathbf {v},\mathbf {w})=\frac{1}{2}\left[ q(\mathbf {v}+\mathbf {w}) -q(\mathbf {v})-q(\mathbf {w})\right] . \end{aligned}$$

Rappelons que si $f\in \hbox {E}^*$ et $\mathbf {v}\in \hbox {E}$, il est d’usage de noter $f(\mathbf {v})$ sous la forme $\langle f | \mathbf {v}\rangle$, définissant ainsi les crochets de dualité chers aux amateurs de mécanique quantique. Nous appellerons dualité sur$\hbox {E}$ toute application linéaire d de $\hbox {E}$ dans $\hbox {E}^*$ qui est telle que, pour tous vecteurs $\mathbf {v},\mathbf {w}$, on ait

$$\begin{aligned} \langle d(\mathbf {v}) | \mathbf {w}\rangle =\langle d(\mathbf {w}) | \mathbf {v} \rangle . \end{aligned}$$

Une dualité définit ainsi une forme bilinéaire symétrique $\phi _d$ et, réciproquement, toute forme bilinéaire symétrique $\phi$ définit une dualité $d_\phi$ par

$$\begin{aligned} \langle d_\phi (\mathbf {v}) | \mathbf {w} \rangle = \phi (\mathbf {v},\mathbf {w}). \end{aligned}$$

Notons $\mathcal {D}(\hbox {E})$ l’espace vectoriel des dualités sur $\hbox {E}$, qui est donc naturellement isomorphe à l’espace $\mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits ^s(\hbox {E})$, ce que nous aurions pu déduire directement de l’isomorphisme canonique entre $\mathop {\mathrm{Hom}}\nolimits (\hbox {E},\hbox {E}^*)$ et $\hbox {E}^*\otimes \hbox {E}^*$.

Nous pouvons résumer ce qui précède de la manière suivante : les espaces $\mathop {\mathcal {Q}}\nolimits (\hbox {E})$ (des formes quadratiques sur $\hbox {E}$), $\mathop {\mathrm{Bilin}}\nolimits ^s(\hbox {E})$ (des formes bilinéaires symétriques), $\hbox {E}^*\odot \hbox {E}^*$ (des tenseurs symétriques) et $\mathcal {D}(\hbox {E})$ (des dualités) sont isomorphes les uns aux autres.

Rappelons que le rang d’une forme bilinéaire $\phi$ est, par définition, celui de la dualité associée $d_\phi$. Si $\phi$ est de rang maximal, ici 3, on dit qu’elle est non-dégénérée. La dualité associée est alors un isomorphisme. Comme le bidual $\hbox {E}^{**}$ est canoniquement isomorphe à $\hbox {E}$, toute forme bilinéaire symétrique sur $\hbox {E}$ en induit une sur $\hbox {E}^*$, ce qui permettra par exemple de construire les coniques tangentielles.

1.2 Cône isotrope et conique

La théorie classique des coniques s’intéresse aux sections d’un cône. Avant de nous pencher sur le mot « section », voyons comment une forme quadratique permet de définir, de manière naturelle, un « cône ». Si q est une forme quadratique sur $\hbox {E}$, son cône isotrope est l’ensemble des vecteurs $\mathbf {v}$ de $\hbox {E}$ tels que $q(\mathbf {v})=0$. De l’homogénéïté de l’application q, se traduisant par le fait que si $\lambda \in \mathbf {R}$ alors $q(\lambda \mathbf {v})=\lambda ^2q(\mathbf {v})$, on peut déduire deux faits importants concernant ce cône isotrope. Tout d’abord, il s’agit bien d’un cône : s’il n’est pas réduit au vecteur nul, il est une union de droites vectorielles de $\hbox {E}$. Ensuite, si $\mu$ est un nombre réel non-nul quelconque, le cône isotrope de $\mu q$ est le même que celui de q. Dit autrement, le cône isotrope de q ne dépend que du point $\overline{q}$ que définit q dans l’espace projectif $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\mathop {\mathcal {Q}}\nolimits )$ de $\mathop {\mathcal {Q}}\nolimits$. Ce point $\overline{q}$ s’appelle la classe conforme de q. Nous noterons donc le cône isotrope de q sous la forme $\mathop {\mathrm{CI}}\nolimits (\overline{q})$.

Pour former une section conique avec le cône $\mathop {\mathrm{CI}}\nolimits (\overline{q})$, nous pourrions prendre un plan affine dans $\hbox {E}$ et considérer l’intersection de $\mathop {\mathrm{CI}}\nolimits (\overline{q})$ avec celui-ci. Afin d’unifier toutes les sections possibles obtenues de cette manière, il est naturel de considérer l’image du cône isotrope dans l’espace projectif $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$. Nous noterons cette image $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ et l’appellerons la conique associée à la (classe de la) forme quadratiqueq. De cette manière, réaliser une conique classique comme section du cône isotrope revient simplement à choisir une carte affine dans $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$, c’est-à-dire à y choisir une droite que l’on considèrera comme la droite à l’infini du plan affine coupant $\mathop {\mathrm{CI}}\nolimits (\overline{q})$.

Si le cône isotrope de q est réduit à $\{\mathbf {0}\}$ alors sa conique associée est vide. Une telle conique pourrait aussi être réduite à un point, à une droite ou à l’union de deux droites, si la forme quadratique q est dégénérée. Supposons maintenant que q est non dégénérée. Selon le théorème d’inertie de Sylvester, il existe une base d’inertie pour la forme quadratique q,⁸⁰ c’est-à-dire une base $\mathop {\mathcal {B}}\nolimits _i=\{\mathbf {e}_0, \mathbf {e}_1, \mathbf {e}_2\}$ telle que, en coordonnées dans cette base, q s’exprime de la manière suivante : 

$$\begin{aligned} q(\mathbf {v})=\epsilon _0 x^2+\epsilon _1 y^2 +\epsilon _2 z^3, \end{aligned}$$

où $(\epsilon _0,\epsilon _1,\epsilon _2)\in \{(1,1,1), (1,1,-1), (1,-1,-1), (-1,-1,-1)\}.$ La signature de la forme quadratique vaut alors respectivement, dans ces différents cas : $(3,0), (2,1), (1,2)$ et (0, 3). Notons que comme l’on ne s’intéresse qu’au cône isotrope de q et, plus généralement, à des objets s’obtenant par l’annulation de quantités dépendant linéairement de q, on peut restreindre notre étude aux cas où la signature vaut (3, 0) et (2, 1). Dans le premier cas, la forme quadratique q est définie positive et donc $\mathcal {C}_{\overline{q}}=\emptyset .$ C’est donc le second qui, géométriquement, donne naissance à une véritable conique, image dans l’espace projectif du cône usuel d’équation dans la base d’inertie $x^2+y^2-z^2=0$. Nous dirons alors que la conique $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ est une conique non dégénérée. Comme dans le plan affine d’équation $z=1$ la trace du cône isotrope est le cercle d’équation $x^2+y^2=1$, il est facile de voir qu’une conique non dégénérée est homéomorphe à un cercle et qu’elle sépare $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$ en deux composantes connexes.

Remarquons que si la signature vaut (1, 1) (q est donc dégénérée et de rang $2=1+1$), alors dans une base d’inertie la forme quadratique prend la forme suivante : 

$$\begin{aligned} q(\mathbf {v})=x^2-z^2=(x-z)(x+z), \end{aligned}$$

et ainsi le cône isotrope est réunion de deux plans, donnant une conique $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ qui est la réunion de deux droites projectives : c’est ce que nous appellerons dans la suite une conique dégénérée. La droite commune à ces deux plans est constituée de vecteurs $\mathbf {v}$ qui non seulement sont isotropes au sens où $q(\mathbf {v})=\phi _q(\mathbf {v},\mathbf {v})=0$, mais qui sont en fait qualifiés de totalement isotropes : pour tout vecteur $\mathbf {w}\in \hbox {E}$, on a $\phi _q(\mathbf {v}, \mathbf {w})=0$. Le point de $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$ correspondant à cette droite est le point double de la conique dégénérée $\mathcal {C}_{\overline{q}}$, à savoir l’intersection des deux droites qui la constituent.

Notons pour finir que dans les deux cas que nous venons de traiter, à savoir dans les cas où la signature vaut (2, 1) ou (1, 1), on peut aisément démontrer que $\mathcal {C}_{\overline{q'}}=\mathcal {C}_{\overline{q}}$ si seulement si $\overline{q}=\overline{q'}$. Dit autrement, se donner une conique (dégénérée ou non dégénérée) est équivalent à se donner une classe conforme de forme quadratique sur $\hbox {E}$.

1.3 Polarité

Soit q une forme quadratique sur $\hbox {E}$, que nous supposerons de signature égale à (2, 1) ou (1, 1), de sorte que la conique associée est soit non dégénérée et homéomorphe à un cercle, soit dégénérée et égale à l’union de deux droites se coupant en le point double de la conique.

Soit $m\in \mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$ un point qui ne soit pas un point double de $\mathcal {C}_{\overline{q}}$. Ce point m correspond à la droite vectorielle $\hbox {D}_m$ de $\hbox {E}$ qui, par hypothèse, ne contient que le vecteur nul comme vecteur totalement isotrope. Soit $\mathbf {m}$ un vecteur dirigeant la droite $\hbox {D}_m$ ; par analogie avec le produit scalaire usuel, on définit le $\overline{q}$-orthogonal de $\hbox {D}_m$ par

$$\begin{aligned} \hbox {D}_{m}^{\perp } = \{\mathbf {w}\in \hbox {E}, \phi _q(\mathbf {m},\mathbf {w})=0\}. \end{aligned}$$

Il est évident que $\hbox {D}_{m}^\perp$ ne dépend que de $\hbox {D}_m$ et pas du vecteur choisi pour diriger $\hbox {D}_m$, et ne dépend en outre que de la classe conforme de q. De l’hypothèse sur m découle que $\hbox {D}_m^\perp$ est un plan vectoriel de $\hbox {E}$, définissant une droite projective de $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$ que nous noterons $m^{\perp }$ : c’est la polaire du pointmeu égard à la conique$\mathcal {C}_{\overline{q}}$. La polaire de m est bien définie relativement à la conique, puisqu’elle ne dépend que de la classe conforme qui nous donne la conique. En utilisant la dualité associée $d_\phi$, ainsi que l’identification naturelle entre l’espace $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})^*$ des droites projectives de $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$ et l’espace projectif $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E}^*)$ de $\hbox {E}^*$, il est immédiat (c’est-à-dire qu’il s’agit d’une tautologie) de voir que $m\mapsto m^\perp$ est une homographie de $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$ dans $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})^*$.

Par converse, si l’on se donnne une droite projective $\delta$ de $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$ de sorte que $\delta$ ne passe pas par l’éventuel point double de $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ et si l’on note $\hbox {P}_\delta$ le plan vectoriel de $\hbox {E}$ correspondant à $\delta$, on peut considérer le q-orthogonal de $\hbox {P}_\delta$, qui est une droite vectorielle donnant un point de $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$ que l’on note $\delta ^\perp$ et qui est appelé le pôle de la droite$\delta$eu égard à la conique$\mathcal {C}_{\overline{q}}$. La correspondance $\delta \mapsto \delta ^\perp$ est une homographie de $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})^*$ dans $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})$ et de la symétrie de la forme polaire $\phi _q$ on déduit qu’il s’agit de la correspondance réciproque de celle associant à un point sa polaire. Dit autrement nous avons les identités suivantes : 

$$\begin{aligned} (m^\perp )^\perp = m,\; (\delta ^\perp )^\perp =\delta . \end{aligned}$$

Supposons maintenant que la conique soit non dégénérée, de sorte que dans une base d’inertie une équation du cône isotrope s’écrive

$$\begin{aligned} x^2+y^2-z^2=0. \end{aligned}$$

La forme quadratique q, vue comme fonction, est différentiable en tout vecteur $\mathbf {v}$ et un calcul élémentaire montre que sa différentielle $\hbox {D}q_{\mathbf {v}}$ au vecteur $\mathbf {v}$ satisfait à

$$\begin{aligned} \hbox {D}q_{\mathbf {v}}(\mathbf {w})=2\phi _q(\mathbf {v},\mathbf {w}) \end{aligned}$$

pour tout vecteur $\mathbf {w}\in \hbox {T}_{\mathbf {v}}\hbox {E}=\hbox {E}$. Ainsi est-il clair que si m est un point pris sur la conique $\mathcal {C}_{\overline{q}}$, alors $m^\perp$ n’est jamais que la tangente à $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ en m. En fait $m\in m^\perp$ si et seulement si $m\in \mathcal {C}_{\overline{q}}$ et réciproquement $\delta ^\perp \in \delta$ si et seulement si $\delta$ est une tangente à la conique.

1.4 Polaire et involution

Reprenons les hypothèses et notations de la section précédente. Si $\delta$ est une droite projective qui ne passe pas par l’éventuel point double de $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ et si l’on considère un point m sur $\delta$, ce point m admet lui-même une polaire $m^\perp$ qui, si $\delta$ n’est pas une tangente à la conique, est une droite différente de $\delta$, de sorte qu’elle coupe $\delta$ en un point $m'$. Un petit calcul dans une base d’inertie montre que $m\mapsto m'$ définit une homographie de $\delta$ dans elle-même. De la symétrie de $q_\phi$ on déduit que c’est une involution, que nous noterons $\mathop {\mathrm{pol}}\nolimits _{\delta ,\overline{q}}$ et nommerons involution de polarité induite sur$\delta$par la conique$\mathcal {C}_{\overline{q}}$. Il est en effet évident qu’elle ne dépend que de la classe conforme de q, c’est-à-dire finalement de $\mathcal {C}_{\overline{q}}$. Si $\delta$ est une tangente à la conique, alors cette involution n’est pas définie. Nous pourrions dire qu’elle est complètement dégénérée, envoyant tout point différent du point de tangence m sur le point m et le point m sur la droite entière. Il faudrait pour donner un sens précis à cela procéder à un éclatement au point m, ce que nous ne développerons pas ici.

1.5 Coniques dans une carte affine

Supposons ici que q est non dégénérée et considérons une droite projective $\delta$. Trois cas peuvent se produire concernant les rencontres de cette droite et de la conique $\mathcal {C}_{\overline{q}}$.

• 1. Si la droite $\delta$ ne rencontre pas $\mathcal {C}_{\overline{q}}$, alors dans le plan affine $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})-\delta$ dont $\delta$ est la droite à l’infini, la conique $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ est une ellipse. L’involution de polarité induite sur $\delta$ est sans point fixe et porte le nom d’involution elliptique.

• 2. Si la droite $\delta$ rencontre la conique $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ en deux points distincts $a,a'$, alors dans le plan affine $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})-\delta$ la conique est une hyperbole dont les deux asymptotes rencontrent la droite à l’infini $\delta$ en les points $a,a'$. Ces deux asymptotes sont par ailleurs les tangentes à $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ en les points $a,a'$ respectivement. L’involution de polarité induite sur $\delta$ a deux points fixes a et $a'$ et porte le nom d’involution hyperbolique.

• 3. Si la droite $\delta$ ne rencontre $\mathcal {C}_{\overline{q}}$ qu’en un seul point, elle lui est tangente. Dans le plan affine $\mathop {\mathbf {P}}\nolimits (\hbox {E})-\delta$ la conique est une parabole et l’involution induite sur $\delta$ n’en étant pas une, elle ne porte pas de nom.

On retrouve ainsi l’origine de la terminologie concernant les homographies d’une droite projective suivant qu’une telle homographie admet deux points fixes (elle est hyperbolique), aucun point fixe (elle est elliptique), ou un seul (elle est parabolique).

Nous pourrions poursuivre ainsi et retrouver les résultats et notions présentes dans le Brouillon, comme par exemple la théorie des diamètres et des asymptotes, ou bien les constructions à la règle seule des pôles et des polaires, mais nous laissons au lecteur le plaisir de le faire découvrir à ses étudiants.