Normes cyclotomiques naïves et unités logarithmiques

Résumé

Nous déterminons le rang du sous-groupe $\widetilde{E}_K$ des éléments du groupe multiplicatif d’un corps de nombres K qui sont normes à chaque étage fini de sa ${\mathbb {Z}}_\ell$-extension cyclotomique $K^c$; et nous comparons son $\ell$-adifié ${\mathbb {Z}}_\ell \otimes _{\mathbb {Z}}\widetilde{E}_K$ avec le $\ell$-groupe des unités logarithmiques $\,\widetilde{\varepsilon }_K$. Nous donnons à cette occasion une preuve très facile de la conjecture de Gross–Kuz’min en $\ell$ pour les extensions K / k d’un corps abélien dans lesquelles les places au-dessus de $\ell$ ne se décomposent pas.

Abstract

We compute the ${\mathbb {Z}}$-rank of the subgroup $\widetilde{E}_K =\bigcap _{n\in {\mathbb {N}}} N_{K_n/K}(K_n^\times )$ of elements of the multiplicative group of a number field K that are norms from every finite level of the cyclotomic ${\mathbb {Z}}_\ell$-extension $K^c$ of K. Thus we compare its $\ell$-adification ${\mathbb {Z}}_\ell \otimes _{\mathbb {Z}}\widetilde{E}_K$ with the group of logarithmic units $\widetilde{\varepsilon }_K$. By the way we point out an easy proof of the Gross–Kuz’min conjecture for $\ell$-undecomposed extensions of abelian fields.