Estimates and Borel summability in the magnetic Coulomb problem. Renormalization of subsidiary electric charge

Summary

The problem of two relativistic magnetic charges bound by a Coulomb force leads to consider subsidiary electric-charge density sustained by the semi-classical magnetic current. The asymptotic expansion for the resulting electric displacement field shows rotational invariance with apparent essential singularity on the equatorial plane cos θ_r=0 and divergence of apparent total charge. The series is shown to possess Borel summability and renormalization ofQ _e to a finite value follows which is proportional to the residue of the leading asymptotic term. This bringsQ _e=−3π/8(1/g′)(1+4π ²/g′⁴ due to the Dirac wave function normalization.

Riassunto

Il problema di due cariche magnetiche relativistiche legate da una forza di Coulomb porta a considerare una densità di carica elettrica supplementare sostenuta dalla corrente magnetica semiclassica. L'espansione asintotica per il campo di spostamento elettrico risultante mostra un'invarianza rotazionale con singolarità essenziale apparente sul piano equatoriale cos θ_r=0 e divergenza di carica totale apparente. Si mostra che la serie ha sommabilità di Borel e segue la rinormalizzazione diQ _e ad un valore finito, che è proporzionale al residuo del termine asintotico principale. Ciò porta aQ _e=−3π/8(1/g′)(1+4π ²/g′⁴ dovuto alla normalizzazione della funzione d'onda di Dirac.

Резюме

Проблема двух релятивистских магнитных зарядов, связанных кулоновской силой, приводит к рассмотрению плотности вспомгательных электрическихзарядов, установившейся благодаря полуклассическому магнитному току. Асимптотическое разложение для результирующего поля электрического смешения обнаруживает ротационную инвариантность относительно явной сушественной сингулярности на экваториальной плоскости cos θ_r=0 и расходимостькажушегося полного заряда. Показывается, что разложение обладает суммируемостью Бореля и перенормировкаQ _e дает конечную величину, которая пропорциональна вычету главного асимптотического члена. Вследствие перенормировки дираковской волновой функции получаетсяQ _e=−3π/8(1/g′)(1+4π ²/g′⁴.