Computer Progress in Czechoslovakia

Summary

Before the era of the high-speed electronic digital computers the representation of numbers in the decimal numerical form was exclusively used in computational practice. The design of the first program-controlled mathematical machines (for instance, Harvard Mark I and ENIAC) was also based on the decimal number system. It took long time before the merit of other polyadic form (for instance, the dyadic or binary number system) was recognized for this purpose. Compatibility with the switching properties of electronic elements and simplicity of logic are outstanding features claimed for the use of the binary system.

The algorithms for the arithmetic operations in computing machines can also be based on a numerical system which is not polyadic, i. e. on the numerical System of Residual Classes (SRC). The SRC-encoding of numbers in computers has certain unexpected theoretical as well as practical features. To begin with, the theoretical background of SRC number representation and characteristics of SRC arithmetic operations and algorithms are presented in this paper in form of a condensed survey appended by some elucidating examples. The question of encoding of numbers to be transmitted through the data channels and processed in the SRC arithmetic unit is considered to be of predominant importance as to its practical applicability. There are two basic methods of encoding which are known and which have already been used at advantage to design computing circuits: the one-out-of-n code to represent n integers by n bits and the combinatory code of representing 2ⁿ integers by n bits. The SRC permits to develop another system of encoding which is, in fact, a combination of the two methods of encoding mentioned above. Logical circuits for arithmetic operations based on this type of coding have certain interesting features which are discussed in the paper. The author is aware of the fact that his effort to present a clear and unified picture of the SRC is certainly far from being satisfactory. The SRC is only, in its first stages of evolution, influenced by practical applications in computing machines. New conceptions, algorithms and logical circuits can be expected for the future.

Zusammenfassung

Vor dem Zeitalter der elektronischen Hochgeschwindigkeits-Rechenmaschinen wurde in der rechnerischen Praxis zur Zahlendarstellung ausschließlich das dezimale Zahlensystem benutzt. Auch bei der Planung und Entwicklung der ersten programmgesteuerten Rechenautomaten (z. B. Harvard Mark I und ENIAC) ging man vom dezimalen Zahlensystem aus. Es hat geraume Zeit gebraucht, bis man für diesen Zweck die Vorzüge anderer polyadischer Darstellungsformen für Zahlen (z. B. das dyadische oder binäre Zahlensystem) erkannte. Zu den hervorstechenden Merkmalen, die man für die Anwendung des Binärsystems anführt, gehören die Kompatibilität mit den Schalteigenschaften elektronischer Elemente und die Einfachheit der Logik. Die Algorithmen zur Durchführung arithmetischer Operationen in Rechenmaschinen können auch auf einem nicht-polyadischen Zahlensystem, dem Zahlensystem der Restklassen (abgek. SRC) beruhen. Die SRC-Codierung von Zahlen in Rechenmaschinen hat mancherlei unerwartete Aspekte sowohl in theoretischer als auch in praktischer Hinsicht. In diesem Beitrag werden zunächst die theoretischen Grundlagen der SRC-Zahlendarstellung sowie die charakteristischen Merkmale der SRC-Arithmetik und der entsprechenden Algorithmen in der Art eines zusammenfassenden Überblicks dargestellt, der durch einige erläuternde Beispiele ergänzt wird. Das Problem der Codierung der in den Datenkanälen zu übertragenden und im SRC-Rechenwerk zu verarbeitenden Zahlen wird wegen seiner großen Bedeutung für die praktische Nutzanwendung hoch eingeschätzt. Es gibt bekanntlich zwei grundlegende Methoden der Zahlenverschlüsse-lung, welche bereits in vorteilhafter Weise beim Entwurf von Rechenschaltungen zur Anwendung kamen: den eins-aus-n-Code zur Darstellung von n Zahlenwerten durch n Dualstellen und den kombinatorischen Code zur Darstellung von 2ⁿ Zahlen durch n Dualstellen. Das Restklassensystem macht die Anwendung einer weiteren Codierungsart möglich, welche im Grunde eine Vereinigung der zwei oben genannten Codierungen darstellt. Logische Schaltungen zur Durchführung arithmetischer Operationen, welche auf dieser Art der Codierung basieren, weisen einige bemerkenswerte Eigenschaften auf, die im vorliegenden Beitrag erörtert werden.

Der Verfasser ist sich der Tatsache bewußt, daß sein Unterfangen, ein übersichtliches und vereinheitlichtes Bild des Restklassensystems zu geben, sicherlich noch weit davon entfernt ist, in jeder Hinsicht befriedigend zu sein. In seinem jetzigen ersten Stadium der Evolution wurde das Restklassensystem nur im Lichte der praktischen Anwendung in Rechenmaschinen gesehen. Neue Konzepte, Algorithmen und Vorschläge für logische Schaltungen sind in Zukunft durchaus zu erwarten.

Résumé

Avant l’époque des calculateurs automatiques on n’employait dans le calcul pratique que des nombres exprimés dans le système décimal. Les premiers projets des calculateurs automatiques (par exemple Harvard Mark I et ENIAC) étaient aussi basés sur le système décimal. Il a duré assez longtemps jusqu’à ce que les avantages des autres systèmes aient été reconnus (par exemple du système binaire). La facilité de la représentation par des circuits logiques simples est considérée comme un grand avantage du système binaire.

Les algorithmes pour les opérations arithmétiques peuvent être basés aussi sur un système non-polyadique, par exemple sur le système des classes résiduelles (SRC). L’usage de ce système dans les calculateurs automatiques est accompagné par des questions intéréssantes du point de vue théorique et pratique. Pour commencer, ce papier présente l’aspect théorique de la représentation des nombres dans le SRC, suivi par une discussion des opérations arithmétiques du SRC et des algorithmes correspondants présentés d’une façon sommaire et accompagnés par quelques exemples. Le problème de la représentation des nombres par des signaux passant par les canaux de transmission et par les résaux de l’unité arithmétique est considéré très important du point de vue de son applicabilité pratique. En principe on connaît deux solutions fondamentales de ce problème qui ont été employées avantageusement pour projeter des circuits arithmétiques: le code «un seul bit pris parmis n» représentant n nombres entiers par n bits et le code combinatoire représentant 2ⁿ nombres entiers par n bits. Le SRC permet le dévelopement d’un autre système de représentation qui est en effet une combination des deux méthodes mentionnées plus haut. Des circuits logiques pour les opérations arithmétiques basées sur le code SRC possèdent des propriétés intéressantes discutées dans ce papier.

L’auteur admet que son effort de présenter une image complète et unifiée du SRC n’a pas réussi complètement, le SRC étant seulement dans un état de commencement d’évolution a été influencé par des applications pratiques dans le domaine des calculateurs automatiques. Des conceptions, des algorithmes et des circuits logiques nouveaux s’attendent à l’avenir.