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Versicherungsökonomik

  • Roland EisenEmail author
Living reference work entry
Part of the Springer Reference Wirtschaft book series (SRW)

Zusammenfassung

Ich beginne mit einer kurzen historischen Übersicht über frühe Texte in Bezug auf Risiko und Mathematik, politische Ökonomie und Wirtschaft. Das Erwartungsnutzen Konzept wird mit seinen zwei Dimensionen entwickelt: Wahrscheinlichkeiten und Ergebnisse. Die Versicherungsnachfrage, angefangen bei einem einfachen Modell bis hin zu nicht austauschbaren Gütern, und das Marktgleichgewicht werden diskutiert. Unter Versicherungstechnologie bespreche ich insbesondere Prämienberechnungsprinzipien und das CAPM. Asymmetrische Informationen sowie Versicherungsaufsicht und -regulierung werden aufgegriffen.

Schlüsselwörter

Erwarteter Nutzen Marktgleichgewicht Asymmetrische Information Versicherungstechnik Regulierung Versicherungsaufsicht 

1 Einleitung

Versicherungsökonomik ist ein relativ junges Gebiet, als ökonomische Theorie von der Versicherung hat sie jedoch einige Vorgänger, die unter verschiedenen Namen auftreten: Versicherungswirtschaftslehre oder allgemeine Versicherungslehre (so bei Werner Mahr 1951). Und obwohl Versicherung in den industrialisierten Ökonomien von herausragender Bedeutung ist, kann noch Kenneth Arrow 1965 feststellen, „that economic theorists have little to say about it, and insurance has developed with virtually no reference to the basic economic concepts of utility and productivity“ (Arrow 1965, S. 45). Dies lag vor allem daran, dass deterministische Modelle die ökonomische Theorie dominiert haben. Insofern kann man ohne große Übertreibung sagen, dass die Versicherungsökonomik (zumindest die moderne Versicherungsökonomik) mit den Veröffentlichungen von Kenneth Arrow und Karl Borch in den frühen 1960ern beginnt (vgl. Arrow 1963, 1965 und Borch 1960, 1961, 1962).

Kenneth Arrow kann als die führende Persönlichkeit in der Entwicklung der (modernen) Versicherungsökonomik und mehr noch in der Entwicklung der Unsicherheits- und Informationsökonomik angesehen werden. In Arrow (1965) präsentiert er einen Rahmen, mit dessen Hilfe die Rolle verschiedener institutioneller Mechanismen zum Risikotransfer, wie beispielsweise Versicherungs- und Kapitalmärkte, implizite Kontrakte, Zukunftsmärkte, und Futures, erklärt werden können. Im üblichen Versicherungsbeispiel sind risikoscheue Individuen mit einem Risiko konfrontiert, das sie gegen einen fixen Preis transferieren wollen an einen weniger risikoscheuen oder besser diversifizierten Versicherer, der anbietet, das Risiko zu diesem Preis zu tragen. Da es sich um einen freiwilligen Vertragsabschluss handelt, stellen sich beide besser.

Auf kaum einem Markt werden die Risiken vollständig transferiert; in Arrow (1963) werden drei der wesentlichen Gründe diskutiert, die den Risikotransfer begrenzen: moralisches Risiko, adverse Selektion (negative Auslese) und Transaktionskosten. In Arrow (1965) wird das moralische Risiko betont und gezeigt, dass ein proportionaler Selbstbehalt geeignet ist, dieses Informationsproblem zu lösen. In Arrow (1963) wird gezeigt – ohne moralisches Risiko –, dass Vollversicherung oberhalb einer (Abzugs-) Franchise optimal ist, wenn die Versicherungsprämie nicht fair ist, sondern einen prozentualen Zuschlag umfasst.

Karl Borch hat auch wesentliche Beiträge zur Theorie der optimalen Versicherung geleistet. So hat er in (1960, 1961, 1962) notwendige und hinreichende Bedingungen für einen pareto-optimalen Risikotausch unter den Bedingungen eines Versicherungspools abgeleitet. Ferner hat er gezeigt, wie die Risikoscheu die optimale Versicherungsdeckung (und den optimalen Risikoanteil) der Teilnehmer in einem Risikopool beeinflusst. Obwohl er dieses Ergebnis im Rahmen von Rückversicherungsverträgen abgeleitet hat, ist leicht zu zeigen, dass sie auch auf Verträge zwischen Versicherungskäufer und Versicherer zutreffen (vgl. etwa Eisen 1979). Borchs Beiträge (vgl. zusammenfassend Borch (1990)) haben wesentliche Anstöße für die Prinzipal-Agenten-Theorie gegeben und auch die Entwicklung der Portefeuille-Theorie und ihre Anwendung in der Versicherung beeinflusst.

Im Folgenden werden nach einer kurzen historischen Einleitung die wesentlichen Entwicklungen der Versicherungsökonomik im Anschluss an Arrow und Borch diskutiert: (1) Nutzen, Risikomessung und Risikoscheu; (2) Versicherungsnachfrage; (3) komplexere Modelle der Versicherungsnachfrage; (4) Preis- bzw. Prämienbildung; asymmetrische Information in den Formen (5) moralisches Risiko und (6) adverse Selektion; den Abschluss bilden Fragen der (7) Versicherungsaufsicht und Regulierung.

2 Historische Anmerkungen: Klassische Ansätze der Versicherungstheorie

2.1 Risiko und Versicherungsmathematik

Die Versicherungsökonomik beginnt damit, dass sich Philosophen und Naturwissenschaftler mit der Frage der Bewertung unsicherer Aktiva (Assets) beschäftigt haben. Blaise Pascal (1623–1662) und Pierre de Fermat (1601–1665) haben beispielsweise in ihrem Briefwechsel verschiedene Fragen diskutiert, die ihnen der französische Chevalier de Méré vorgelegt hatte und die sich auf die Erfolgschancen von Glücksspielen bezogen. Quasi als Schlussstein können die Überlegungen des schweizerischen Mathematikers Jakob Bernoulli (1654–1705) angesehen werden. In seiner „Ars conjectandi“ („Kunst der Mutmaßung“), die allerdings erst 1713 veröffentlicht wurde, formuliert er zum ersten Mal das „Gesetz der großen Zahl“ (so von Siméon Denis Poisson (1781–1840) genannt). Dieses Gesetz kann man als „Grundprinzip der Wahrscheinlichkeitsrechnung“ aber auch als „produktionstheoretische Grundlage“ (Werner Mahr 1935) der Versicherung betrachten (vgl. Koch 1998, S. 27 f.). Es war dann Daniel Bernoulli (1700–1782), der als erster betont hat, dass eine Entscheidungsregel nicht absolut sein kann, ein reicher und ein armer Mann sollten (und haben) nicht dieselbe Präferenzordnung. Diese Beobachtung führte ihn zu der Vermutung, dass eine Entscheidungsregel über Zufallsprospekte nicht dasjenige mit dem höchsten (mathematischen) Erwartungswert, sondern dasjenige auszeichnen sollte, das die größte „moralische Erwartung“ habe, ein Konzept, das heutzutage mit Erwartungsnutzen bezeichnet wird (Bernoulli 1738).

Zu nennen sind hier auch die Arbeiten von Johann Peter Süssmilch (1707–1767), der mit seinem Hauptwerk „Die göttliche Ordnung in den Veränderungen des menschlichen Geschlechts, aus der Geburt, dem Tode und der Fortpflanzung desselben erwiesen“ (1741) als Begründer der modernen Statistik und Bevölkerungstheorie angesehen werden kann; sowie von Leonhard Euler (1707–1783), dessen „Allgemeine Untersuchungen über Sterblichkeit und die Vermehrung des menschlichen Geschlechts“ (1760) und weiterführende Arbeiten als Grundlagen der Lebensversicherung bis heute betrachtet werden können. Auf diesen Grundlagen hat dann Johann Nikolaus Tetens (1736–1807) mit seinem zweibändigen Werk „Einleitung zur Berechnung der Leibrenten und Anwartschaften, die vom Leben und Tode einer oder mehrerer Personen abhangen – mit Tabellen zum praktischen Gebrauch“ (1785) aufgebaut (vgl. Koch 1998, S. 30–42).

Die Ideen von Daniel Bernoulli hat dann Th. Barrois (1793–1851) aufgegriffen, der sie verwendet hat, um eine recht vollständige und überraschend moderne Theorie der Feuerversicherung zu entwerfen (Barrois 1835). Dabei kalkuliert der Versicherer den mathematischen Erwartungswert, während der Versicherungskäufer die „moralische Erwartung“ kalkuliert: „Pour que l’assurance ait lieu avec avantage réciproque, il faudra donc que la différence entre la crainte morale et la crainte mathématique de l’incendie suffise pour payer les frais d’administration de la compagnie et son bénéfice“ (S. 90). Diese Bemerkung ist bis heute gültig.

Die Ideen von Daniel Bernoulli und Th. Barrois machen deutlich, dass Versicherung als ein Gut betrachtet werden sollte, das gekauft und verkauft wird. Die Prämie muss dann als Preis betrachtet werden, der durch Angebot und Nachfrage im Markt bestimmt wird. Und dies kann, wie dann Karl Borch (1962) gezeigt hat, zu einer ökonomischen Theorie der Versicherung führen.

2.2 Staatswissenschaftliche Schriften

Neben den mathematischen Ansätzen muss auch kurz auf die staatswissenschaftlichen Ansätze hingewiesen werden. Denn gerade die Kameralisten und die bei ihnen auftauchende „Hausväter-Literatur“ erarbeiten eine Reihe von Versicherungs-Projekten, wobei sie eben den wirtschaftlichen Wert (im Gegensatz zur mathematisch-statistischen Fundierung) der Witwen- und Waisenkassen betonen.

Während aber in dem großen Werk von Veit Ludwig von Senckendorff (1626–1692) mit dem Titel „Teutscher Fürstenstaat“ Versicherung bzw. Assekuranz noch nicht vorkommt, enthält das Werk von Johann Joachim Becher (1635–1682) „Politischer Diskurs, von den eigentlichen Ursachen des Auf- und Abnehmens der Städte, Länder und Republiquen …“ (1673) zahlreiche wichtige Hinweise für eine Entwicklung des Versicherungsgedankens (vgl. Koch 1998, S. 49). Noch weiter geht Paul Jakob Marperger (1656–1730), der in seiner 1718 erschienenen Schrift „Entwurf Einen gewissen Stiftung/ Brüderschafft oder Societät, …“ die Schaffung von Versicherungseinrichtungen empfiehlt. Dabei sollten sich die Beiträge am Jahreseinkommen orientieren, als Leistungen waren sowohl Krankheits- als auch Begräbniskosten vorgesehen (vgl. Koch 1998, S. 53). Zu nennen sind hier noch Johann Heinrich Gottlob von Justi (1705–1771), der als Vollender des Kameralismus angesehen werden kann, und in dessen Schriften sich auch die ganze Breite des Versicherungswesens spiegelt; sowie Joseph Freiherr von Sonnenfels (1733–1817), der die Arbeiten von Justi weiterführte und neben der Agrarversicherung insbesondere auch die Seeversicherung und die Todesfallversicherung behandelte; der Feuerversicherung hat er durch seine Schriften den Weg bereitet. Dabei hielt er die Gegenseitigkeitsversicherung auf Umlagenbasis für besonders empfehlenswert, „weil dabei die Bürger alle Anstrengungen unternehmen, um den Ausbruch von Feuersbrünsten zu verhüten, damit sie möglichst wenig zu zahlen hätten“ (Koch 1998, S. 57).

Eine Sonderstellung nimmt hier Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) ein. Mit seinem Namen ist insbesondere die Erfindung der Infinitesimalrechnung verbunden. Auch Fragen der Versicherungsmathematik, insbesondere hinsichtlich des Barwerts, der Zinseszinsrechnung und des Gesundheitswesens und der Statistik gehören zu seinen Spezialitäten. Er hat aber auch zahlreiche Denkschriften zu Versicherungsthemen verfasst. So hat er schon 1678 einen Plan zur Errichtung einer „Assecurations-Cassa“ vorgelegt und in seiner 1697 verfassten Denkschrift „Über Assekuranzen“ ausgebaut und wiederholt. Hier fordert er vom Staat die Schaffung von Versicherungsanstalten gegen alle Zufälle des Lebens, aber insbesondere gegen Wasser- und Feuerschäden.

2.3 Stellung in der Volkswirtschaftslehre

In der Theorie des Versicherungswesens dominierte die Mathematik, wobei im Wesentlichen die Rechnungsgrundlagen der Sterbe-, Witwen- und Waisenkassen weiterentwickelt wurden. Wichtige Fortschritte sind hier mit dem Namen Carl Friedrich Gauss (1777–1855) verbunden. Zu nennen ist hier auch das Wirken von August Zillmer (1821–1893), auf den die Methode des Zillmerns (Berücksichtigung und Verteilung der Abschlusskosten bei der Stellung der Prämienreserve) zurückgeht, und bei dem sich auch erstmals „die Zerlegung der Prämie in einen Risiko- und einen Sparanteil“ (Koch 1998, S. 95) findet.

Die ersten Ansätze in der Volkswirtschaftslehre (damals meist politische Ökonomie genannt) waren hier sehr punktuell, insbesondere wurde der Versuch unternommen, das Versicherungswesen in das System der Volkswirtschaftslehre einzuordnen, so beispielsweise bei Theodor Saski’s „Die volkswirtschaftliche Bedeutung des Versicherungswesens“ (1865), wo die Nutzen verschiedener Versicherungszweige diskutiert werden. Daneben muss Emanuel Herrmanns „Die Theorie der Versicherung vom volkswirtschaftlichen Standpunkte“ (1869) erwähnt werden, der unter Versicherung jedes Mittel zur „Kompensation des Zufalls“ verstand, und folglich bei Koch (1998, S. 105) als „sehr umstritten“ bezeichnet wird (seine Lehren werden zum Beispiel von Alfred Manes als „theoretisch ebenso unhaltbar wie praktisch wertlos“ gekennzeichnet). Ferner darf ein Hinweis auf Albert Schäffle (1831–1903) nicht fehlen, der die staatliche Wirtschaftspolitik als Versicherungspolitik („Assekuranztheorie“) bezeichnet hat.

Neben dem betriebswirtschaftlichen Lehrbuch von Dieter Farny „Versicherungsbetriebslehre“ (2011 in 5. Auflage erschienen) ist die 1951 von Werner Mahr vorgelegte „Einführung in die Versicherungswirtschaft – Allgemeine Versicherungslehre“ als die umfassendste Informationsquelle zu Fragen der Versicherungswirtschaft anzusehen (vgl. auch Koch 1998, S. 303). Leider hat Werner Mahr (1906–1985) dieses Buch nicht mehr nach dem neuesten Stand der Theorie umarbeiten können. Insofern ist das von Peter Zweifel und Roland Eisen verfasste Lehrbuch „Versicherungsökonomie“ (2. Aufl., 2003, engl. Ausgabe „Insurance Economics“, 2012) als dessen Nachfolger anzusehen.

3 Grundlagen: Nutzen, Risikomessung und Risikoscheu

3.1 Das Erwartungsnutzen-Modell

Die Ideen von Daniel Bernoulli erschienen wieder in der Versicherungsliteratur, nachdem John von Neumann und Oskar Morgenstern (1944) den Begriff des Nutzens modernisiert und gezeigt haben, dass dieses Konzept eine zentrale Rolle in jeder Entscheidungstheorie einnehmen muss, die sich mit Unsicherheit und Risiko beschäftigt.

Ohne auf die Unterscheidung zwischen Unsicherheit und Risiko (etwa im Sinne von Frank Knight) hier eingehen zu wollen, kann man ein Risiko durch die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis eintritt, und die Schwere, den Umfang beschreiben. Dabei muss dieser Umfang subjektiv bewertet werden. Die Fülle an Faktoren, die hinter dieser Bewertung stecken, wird in der ökonomischen Theorie stark komprimiert und in einer Nutzenfunktion gefasst. Kann man von einem „Sicherheitsbedürfnis“ ausgehen, d. h. unter normalen Bedingungen versuchen Menschen Risiken zu meiden, dann drückt sich dies in einer konkaven Nutzenfunktion aus. Eine Nutzenfunktion ist konkav zum Ursprung, wenn sie überall positiven, aber abnehmenden Grenznutzen des Einkommens aufzeigt. Und hier zeigt sich – wie schon bei Daniel Bernoulli – die Bedeutung der wirtschaftlichen Lage: Die Nachfrage nach Versicherung hängt nicht nur von der Prämie (Preis), sondern auch vom Einkommen/Vermögen ab.

Bis vor kurzem war das lineare Erwartungsnutzen-Modell das Standard-Paradigma, wenn es darum ging, formal ökonomisches Verhalten unter Unsicherheit zu analysieren und Anwendungen für verschiedene Gebiete, insbesondere auch Versicherung abzuleiten.1 Gegeben eine Reihe von Axiomen, wird der Versicherungsvertrag X dem Versicherungsvertrag Y vorgezogen, wenn EU(X) > EU(Y), wenn also der Erwartungsnutzen von X größer ist als der von Y. Dabei wird der Erwartungsnutzen gebildet aus der Summe der mit den jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten (Πs) multiplizierten Nutzen der Konsequenzen U(cs).

Ein extrem vereinfachtes Beispiel soll die Logik verdeutlichen. Angenommen, ein Individuum besitzt ein Prospekt, das mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit zu 100 Euro führt (Zustand 1) und mit derselben Wahrscheinlichkeit 0 Euro (Zustand 2) abwirft. Weiter wird angenommen, dass das Individuum seinen Nutzen berechnet, indem es die Wurzel aus der Ausschüttung in Euro zieht. Außerdem wird angenommen, dass ein Versicherer bereit wäre, dem Konsumenten das Prospekt für 36 Euro abzukaufen; d. h., der Konsument erhält in jedem Fall genau 36 Euro. Dann ergeben sich die in Tab. 1 aufgeführten Werte.
Tab. 1

Entscheidung bei Risiko und Bildung des Erwartungsnutzens

 

Zustand 1

Zustand 2

Originalprospekt

  

Ausschüttung (Euro)

100

0

Nutzeneinheiten

10

0

Erwartungsnutzen

5 (= 50 %*10 + 50 %*0)

Versicherung

  

Prämie/Ausschüttung Prämie/Auszahlung (Euro)

(100–64) = 36

36

Nutzeneinheiten

6

6

Erwartungsnutzen

6 (= 50 %*6 + 50 %*6)

Das Individuum hat also einen höheren Erwartungsnutzen, wenn es sich versichert, zieht also diese Lösung (mit dem sicheren Einkommen) dem Originalprospekt vor.

3.2 Risikomessung und Risikoscheu

Ein wichtiges Konzept ist hier die Messung des Risikos. Sind X und Y zwei Zufallsvariablen mit dazu gehörigen Verteilungsfunktionen FX und FY, dann ist FX eine mittelwerterhaltende Verschiebung (Spreizung) von FY (vgl. Rothschild und Stiglitz 1970), wenn E(X) = E(Y) und EU(X) < EU(Y). Viele Versicherungsverträge mit fairen Prämien können als eine solche mittelwerterhaltende Verschiebung (Spreizung) interpretiert werden, weil sie die Spreizung (Streuung) der Schadenverteilung reduzieren, ohne den Mittelwert zu verändern.

Vollversicherung eines Schadens (einer Schadenverteilung), d. h. ein Versicherungsvertrag der jeweils den vollen Schaden ersetzt, erzeugt ein völliges Verschwinden des Risikos, weil dies den Vergleich einer Risikosituation mit einer risikolosen Situation bedeutet (wie in dem Beispiel).

Kenneth Arrow (1965) und John Pratt (1964) haben zwei wichtige Maße für die Risikoscheu vorgeschlagen. Sie messen sowohl die Intensität, mit der ein Individuum versucht, Risiken zu vermeiden, wie auch die Veränderung dieser Intensität, wenn sich das Einkommen/Vermögen verändert. Gegeben eine von Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion des Vermögens, U(W) mit U’(W) >0 und U“(W) <0 (d. h. die Nutzenfunktion zeigt positiven, aber mit steigendem Vermögen abnehmenden Grenznutzen), sie zeigt also Risikoscheu, dann kann man mit diesen Maßen der Risikoscheu die Sicherheitsäquivalente einer riskanten Situation und die entsprechende Risikoprämie berechnen. Diese Risikoprämie kann als der höchste (Geld-)Betrag interpretiert werden, den ein Versicherungskäufer mit einer gegebenen Nutzenfunktion bereit ist über den Mittelwert (die aktuarisch faire Prämie) hinaus zu bezahlen, um das Risiko los zu werden (vgl. schon die obige Bemerkung bei Barrois). (Für das obige Zahlenbeispiel ergibt sich, dass das Individuum maximal 25 Euro mehr als den Erwartungswert von 50 Euro zu zahlen bereit wäre. Verlangt also der Versicherer nur 14 Euro, so stellt sich das Individuum recht gut; zu hoffen ist, dass der Versicherer mit den 14 Euro auch alle seine sonstigen Ausgaben decken kann.)

4 Versicherungsnachfrage

4.1 Grundlegendes Modell

In der ökonomischen Theorie ist der Markt die zentrale Größe. Auf ihm werden die Marktpreise und die zu diesen Preisen umgesetzten Mengen bestimmt. Dabei spielen das Angebot der Unternehmen (Firmen) und die Nachfrage der Haushalte die entscheidende Rolle. Die Nachfrage der Haushalte ergibt sich aus deren Präferenzen (ausgedrückt in der Nutzenfunktion) und ihrem Einkommen und den am Markt gegebenen Preisen. Auch hier macht es sich die Theorie meist einfach, in dem sie nur zwei Güter betrachtet. Dieses Modell wird hier nun auf die Entscheidung zwischen zwei „Risikoprospekten“ ausgedehnt. Ein relativ einfaches Modell der Versicherungsnachfrage hat Jan Mossin (1968) entwickelt, in dem ein risikoscheues Individuum ein Gesamtvermögen in Höhe von Y = W + L besitzt, wobei W ein sicherer Vermögensteil und L ein risikobehafteter Teil ist, der durch einen versicherbaren Schaden beschrieben wird. Im einfachsten Fall kann das Individuum Versicherung im Umfange von αL (0≤ α ≤1) für eine Prämie in Höhe von αP kaufen; α misst hier die Versicherungsdeckung, also den Umfang, mit dem das Individuum an jedem Schaden beteiligt ist. Es gibt auch einen Aufschlag λ (λ >1) auf den Erwartungsschaden, folglich beträgt die Prämie P = λE(L).

Mossin (1968) zeigt nun, dass die optimale Versicherungsdeckung derart ist, dass

0 ≤ α* ≤1 für P > P’ > E(L) mit P’ = λ’E(L) das folgende Problem löst
$$ \mathrm{E}\ \left[\mathrm{U}\right(\mathrm{Y}+{\boldsymbol{\alpha}}^{\ast}\left(\mathrm{L}\hbox{--} {\boldsymbol{\lambda}}^{'}\mathrm{E}\left(\mathrm{L}\right)\right)\Big]=\mathrm{EU}\left(\mathrm{Y}\right) $$
wobei U eine konkave Risiko-Nutzenfunktion ist und EU(Y) das Nutzenniveau ohne Versicherung darstellt. In Worten, wenn der Prämienzuschlag größer als 1 aber kleiner als λ’ ist, ist es optimal nur teilweise Deckung des Schadens (0< α* <1) nachzufragen. Ist dagegen λ = 1, dann ist α* auch gleich eins, und die maximale Prämie, die ein risikoscheues Individuum über den Erwartungsschaden hinaus bereit ist zu bezahlen, ist die Arrow-Pratt-Prämie, die das folgende Problem löst
$$ \mathrm{U}\left(\mathrm{W}\hbox{--} \mathrm{E}\left(\mathrm{L}\right)\hbox{--} {\Pi}^{\mathrm{U}}\right)=\mathrm{EU}\left(\mathrm{Y}\right). $$

Wie Pratt (1964) gezeigt hat, ist für ein risikoscheueres Individuum mit Nutzenfunktion V, sodass V = k(U), und k’ >0 und k“ <0, die Risikoprämie ПV größer als ПU.

Ein anderes wichtiges Ergebnis von Mossin (1968) ist, dass Versicherungsdeckung ein inferiores Gut ist, dessen Nachfrage also mit steigendem Vermögen zurückgeht, wenn das Individuum abnehmende absolute Risikoscheu zeigt. Gilt diese Annahme, dann wirken zwei gegensätzliche Effekte auf die Versicherungsnachfrage, wenn der Prämienzuschlag λ steigt: ein negativer Substitutions- und ein positiver Vermögenseffekt.

Eine andere wichtige Form der partiellen Versicherung ist die (Abzugs-)Franchise, wobei die Versicherung den Schaden ersetzt, wenn dieser die (Abzugs-)Franchise übersteigt. Da der Versicherungskäufer mit einem solchen optimalen Vertrag immer einen Teil des Risikos selbst trägt, darf man erwarten, dass ein risikoscheueres Individuum einen Vertrag mit einer kleineren Franchise und höherer Prämie vorzieht. Ferner hat Mossin (1968) gezeigt, dass bei abnehmender absoluter Risikoscheu die Franchise mit steigendem Vermögen W steigt (vgl. hierzu insbesondere auch Eisen 1979; Abschn. 2.2 und 2.3). Umgekehrt ist es nun möglich, auf den Grad der Risikoscheu eines Versicherungskäufers aus seiner Entscheidung hinsichtlich eines Selbstbehaltes zu schließen.

4.2 Komplexere Modelle der Versicherungsnachfrage

Es sei unterstellt, dass W nun nicht eine fixe Größe ist, sondern auch eine Zufallsvariable ist; beispielsweise ein Aktienvermögen, dessen Wert von bestimmten Ereignissen am Aktienmarkt bestimmt wird. Dann hängt das optimale Niveau der Versicherungsdeckung (α**) von der statistischen Beziehung zwischen W und L ab. Ist der Korrelationskoeffizient ein hinreichendes Maß für die Beziehung zwischen W und L, dann haben Neil Doherty und Harris Schlesinger (1983) gezeigt, dass das Ergebnis von Mossin hinsichtlich der optimalen Versicherungsdeckung (Selbstbehalt) mit fixem W qualitativ gleich bleibt, wenn die beiden Variablen unabhängig sind: α** = 1, wenn die Prämie fair ist, und α** <1, wenn λ >1, also ein positiver Zuschlag erhoben wird. Man kann darüber hinaus zeigen, dass α** > α*, wenn die Nutzenfunktion gewisse weitere Eigenschaften aufzeigt, insbesondere, wenn das Individuum „prudent“ ist. Ebenso kann man unter derselben Bedingung zeigen, dass 0< D** < D*, d. h. der Selbstbehalt (die Franchise) dann kleiner als vorher ist, wenn die beiden Risiken unabhängig voneinander sind, und D* den Selbstbehalt angibt, wenn das Vermögen W fixiert ist (vgl. 4.1). Folglich wird mehr Versicherungsdeckung nachgefragt, wenn die Risiken unabhängig sind, als wenn das Vermögen W fixiert und nicht zufällig ist. In einem gewissen Sinne kann man vermuten, dass das Individuum mehr Versicherungsschutz für das versicherbare Vermögen L will, um damit einen Teil des Risikos in W, das nicht versicherbar ist, abzudecken. Dies gilt insbesondere, wenn die beiden Risiken positiv korreliert sind, also gleichgerichtet schwanken, ein hoher Schaden also mit einem kleinen Wert von W einhergeht. Im Prinzip wäre hier sogar Überversicherung optimal. Im umgekehrten Fall, wenn die Risiken negativ korreliert sind, also ein hoher Schaden mit einem hohen Wert von W einhergeht, ist Unterversicherung optimal, weil die negative Korrelation wie ein „natürlicher hedge“ wirkt, und Vollversicherung würde diesen „hedge“ beseitigen (vgl. Doherty und Schlesinger 1983 und Zweifel und Eisen 2003, Abschn. 3.7 bzw. Zweifel und Eisen 2012, Abschn. 3.4).

4.3 Beziehung zwischen Versicherung und Prävention

Vereinfachend wurde bisher angenommen, dass die Eintrittswahrscheinlichkeiten und das Ausmaß des Schadens nicht beeinflussbar sind. Aber Versicherungsnachfrage kann auch im Zusammenhang mit anderen risikopolitischen Maßnahmen diskutiert werden. Solche risikopolitischen Maßnahmen können sich zum einen auf die Schadenverhütung oder Schadeneindämmung beziehen, die als Alternative zur Versicherung aufgefasst werden können. Durch Aufwendung von Ressourcen ist es vielfach möglich, die Eintrittswahrscheinlichkeit unerwünschter Ereignisse oder eben deren Schadenumfang zu reduzieren. Neben Sprinkleranlagen sind hier zu nennen Brandschutzmauern, Einbruchdiebstahlsicherungen usw. Solche Maßnahmen und Versicherung können einerseits substitutiv sein: Steigt der Preis für Versicherungsschutz, sinkt die Nachfrage nach Versicherung, gleichzeitig steigen (die nun relativ billiger gewordenen) Schadenverhütungs- oder Schadenminderungsmaßnahmen. Andererseits können sich Versicherung und solche präventiven Maßnahmen aber auch als komplementär herausstellen: Erhöht ein Versicherungskäufer seine präventiven Ausgaben, so kann dies der Versicherer berücksichtigen, in dem er den Preis für Versicherung senkt, was zu einer Zunahme von Versicherung führt.

Isaak Ehrlich und Gary Becker (1972) analysieren diese Fälle und geben Bedingungen an, unter denen Schadenminderungsmaßnahmen (engl. self-insurance) und Versicherung Substitute sind, und sie geben Bedingungen an, unter denen Schadenverhütungsmaßnahmen (engl. self-protection) und Versicherung Komplemente sind (vgl. auch Zweifel und Eisen 2003, Abschn. 3.8). In beiden Fällen wird aber angenommen, dass diese Aktivitäten durch den Versicherer beobachtbar sind.

Während nun Ehrlich und Becker (1972) auf die Interaktion zwischen Versicherung und entweder Schadenverhütungs- oder Schadenminderungsmaßnahmen abstellen, haben sie die Interaktionen zwischen den beiden Aktivitäten mit oder ohne Versicherung nicht untersucht. Die Wahl zwischen allen drei Alternativen haben Y. M. Chang und Isaak Ehrlich (1985) analysiert. Ist Vollversicherung nicht verfügbar, dann beeinflusst die Risikoscheu die optimale Wahl der Maßnahmen. Es scheint intuitiv einleuchtend, dass steigende Risikoscheu einen risikoscheuen Entscheider zu einem höheren Niveau von beiden Aktivitäten führen sollte; allerdings ist dies nicht immer der Fall: mehr risikoscheue Individuen können durchaus auch weniger Schadenverhütungsmaßnahmen durchführen.

4.4 Versicherungsnachfrage von Unternehmen

Die Versicherungsnachfrage von Unternehmen muss anders untersucht werden, weil sie viel mehr Möglichkeiten haben, mit Risiken umzugehen. So haben beispielsweise die Aktionäre als Eigentümer von Aktiengesellschaften die Möglichkeit, ihre Investitionsrisiken zu geringen Kosten durch Diversifikation in ihren Portefeuilles zu reduzieren. Risikoscheu der Eigentümer ist also nicht ausreichend, eine Versicherungsnachfrage zu generieren. Insofern sind die Transaktionskosten der Diversifikation über den Aktienmarkt mit jenen zu vergleichen, die sich beim Risikotransfer mit Hilfe der Versicherung (also insbesondere der Prämienzuschlag) ergeben. D. Mayers und C. W. Smith (1982) untersuchen die Nachfrage nach Versicherung von Firmen. Dabei diskutieren sie Insolvenzkosten, Risikoscheu auf Seiten der Manager, der Beschäftigten, der Kunden und Zulieferer; die Effizienz von Versicherern in der Schadenhandhabung usw. (vgl. auch Zweifel und Eisen 2003, Kap. 4).

4.5 Versicherungsnachfrage bei unersetzlichen Gütern

Bisher wurde angenommen, dass die zu versichernden (und versicherbaren) Vermögenswerte ersetzbar sind und einen Marktwert besitzen. Beispiele solcher versicherbaren Güter sind Gebäude und Autos. Ein Unfall erzeugt hier im Wesentlichen einen geldwerten Schaden und der Versicherungsvertrag bietet eine Entschädigung, um dieses Gut ganz oder teilweise zu ersetzen. Es gibt jedoch auch andere Güter, für die ein Ersatz auf Märkten nicht existiert, wie beispielsweise gute Gesundheit, ein unversehrter Körper, das Leben eines Kindes, aber auch Liebhaberobjekte. Für solche „Güter“ erzeugt ein „Unfall“ nicht nur einen monetären Verlust, sondern auch nicht-monetäre Schäden, wie Schmerzen und Leiden. Solche nicht-monetären Verluste kann man dadurch erfassen, dass man die Risikonutzenfunktion zustandsabhängig macht, wobei dann die Bewertung vom eingetretenen Zustand (gut mit dem „Gut“, schlecht ohne das „Gut“) abhängt (vgl. P. J. Cook und D. A. Graham 1977). Man kann nun fragen, wie viel das fragliche Gut dem Individuum wert ist. Ein Maß für diesen Wert ist der maximale Geldbetrag, den das Individuum zu zahlen bereit ist, um den durch das immaterielle Gut gestifteten Nutzen zu erlangen bzw. zu behalten. Cook und Graham nennen diesen Betrag „Lösegeld“ (engl. ransom). Dabei können drei Fälle unterschieden werden: es liegt kein Vermögenseffekt vor; das „Gut“ ist inferior; das Gut ist ein normales Gut. Unterstellt man, dass Gesundheit, Leben etc. normale Güter sind, steigt die Lösegeldsumme mit dem Vermögen. Ferner kann man zeigen, dass α* größer, gleich oder kleiner als 1 ist für einen Versicherungsvertrag mit fairer Prämie, wenn der Grenznutzen im Schadenfall größer, gleich oder kleiner ist als der Grenznutzen im Nicht-Schadenfall. Das heißt das Individuum will mehr (weniger) Versicherung kaufen als mit zustandsunabhängigen Nutzen, wenn der Grenznutzen des Vermögens größer (kleiner) ist im Schadenfall als im Nicht-Schadenfall.

4.6 Gleichgewicht auf einem Versicherungsmarkt

Maurice Allais (1953) und Kenneth Arrow (1953) haben sich als erste mit dem allgemeinen ökonomischen Gleichgewicht unter Unsicherheit befasst. Kurz darauf hat Gérard Debreu 1953 die Ideen von Kenneth Arrow aufgegriffen und erweitert (vgl. Debreu 1959). Grundlage ist die Idee des „bedingten Gutes“ oder der „bedingten Forderung auf Güter“. Ein Gut ist nicht mehr nur definiert durch seine physikalischen Eigenschaften, seinen Standort und sein Datum, sondern auch durch die Ereignisse (oder Zustände der Natur), bei denen es verfügbar ist. Die Präferenzen der Konsumenten beziehen sich auf „bedingte Güterbündel“, spiegeln also neben den Vorlieben auch subjektive Wahrscheinlichkeiten über den Eintritt von Ereignissen (Zuständen) und die Risikoeinstellung wider. Für eine solche Wirtschaft kann man ein Wettbewerbsgleichgewicht beweisen, das eine paretooptimale Allokation von Gütern ist (vgl. Eisen 1979; Abschn. 3.1).

Das Ziel Kenneth Arrows (1970) ist es nun zu zeigen, dass eine optimale Risikoverteilung auch durch ein Wettbewerbssystem herbeigeführt werden kann, das in Geld zahlbare Wertpapiere besitzt. Diese Wertpapiere heißen Arrow-Zertifikate, und eine Einheit eines Wertpapiers vom Typ s (s = 1,…, S) ist eine Forderung auf eine Geldeinheit, wenn Zustand s eintritt. Auch für eine solche Wirtschaft zeigt Kenneth Arrow 1970, S. 126, dass ein paretooptimales Wettbewerbsgleichgewicht existiert. Durch eine Umformulierung von Bündeln von Arrow-Zertifikaten zeigt nun Karl Borch (1960, 1962), dass das „Arrow-Gleichgewicht“ einem „Versicherungsgleichgewicht“ entspricht: Ein Versicherungsvertrag α erbringt αs Geldeinheiten in Zustand s und kostet p(α) Einheiten (vgl. auch Eisen 1979; Abschn. 4.1).

5 Preis- und Prämienbildung

Bisher wurden Versicherer (im Folgenden Versicherungsgesellschaften) nur sehr indirekt betrachtet, in dem sie bestimmte Arten von Versicherungsverträgen bereitstellen. Dies ist unvollständig, deshalb soll kurz auf das Angebot an Versicherungsschutz eingegangen werden.

5.1 Versicherungstechnologie

Das Management einer Versicherungsgesellschaft ist weit davon entfernt, sich so passiv zu verhalten wie bisher unterstellt. Vielmehr verfolgt die Versicherungsgesellschaft gewisse Ziele und setzt ein ganzes Arsenal von Instrumenten ein (vgl. hierzu insbesondere Dieter Farny 2011). Die Gesamtheit dieser Instrumente macht die sog. Versicherungstechnologie aus und reicht von der Produktgestaltung (z. B. Ausschluss bestimmter Risiken) über die Wahl der Vertriebsart, die Zeichnungspolitik, die Leistungsabwicklung (Beratung bei der Prävention, Kulanz bei der Schadenabwicklung), den Kauf von Rückversicherung und die Anlage der Überschüsse und Reserven auf dem Kapitalmarkt.

Bei der Frage nach den Zielen einer Versicherungsgesellschaft geht es darum, ob die Hypothese der Gewinnmaximierung (im Erwartungswert) genügt, oder ob nicht auch die Risikoaversion und die Insolvenzwahrscheinlichkeit eine Rolle spielen müssen.

Versicherungsverträge werden über verschiedene Absatzkanäle verkauft: Angestellte Agenten, selbständige, aber abhängige Agenten (sog. exclusive agents), Makler, Mitarbeiter anderer Unternehmen, insbesondere Banken (sog. Allfinanz), oder Direktvertrieb. Die Rückversicherung spielt für Erstversicherer eine wichtige Rolle, dabei erfüllt sie verschiedene Funktionen: Neben Risikotransfer und Erhöhung der Zeichnungskapazität, geht es um Ersatz für Eigenkapital, die Glättung von Schwankungen im Schadenverlauf und gewisse Service- und Finanzierungsleistungen. Dies geschieht in unterschiedlichen Formen: als Quoten-Rückversicherung, als Summen- oder Schadenexzedenten-Rückversicherung (vgl. H. K. Janott 1988).

Die Anlagepolitik der Versicherungsgesellschaft stellt einen zentralen Bestandteil der Versicherungstechnologie dar, denn ohne weiteres können die laufenden Schadenzahlungen und anderen Aufwendungen die laufenden Prämieneinnahmen übersteigen. Hierauf soll aber nicht weiter eingegangen werden (vgl. Zweifel und Eisen 2003, Kap. 5).

5.2 Klassische Prämienkalkulationsprinzipien

Ohne auf die wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen (wie die Tschebyscheff'sche Ungleichung, das Gesetz der großen Zahlen und das versicherungstechnische Risiko einzugehen), wird hier gleich von der Prämienkalkulation für Einzelrisiken ausgegangen. Sie erfolgt mit Hilfe eines Funktionals П, das der Zufallsvariablen X (den Schäden) eine reelle Zahl, nämlich die Prämie П(X) zuordnet. Wichtige Eigenschaften sind: die Prämie darf nicht kleiner als der Schadenerwartungswert sein, es muss also П(X) ≥ EX gelten; die Prämie soll maximalschadenbegrenzt sein, d. h. П(X) ≤ Max(X); und die Prämie soll keinen ungerechtfertigten Schwankungszuschlag enthalten, d. h. П(X) = EX für konstantes X. Zu den in der Praxis heute noch wichtigen Prämienkalkulationsprinzipien zählen das

Äquivalenzprinzip: П0(X) = EX; dies ergibt die faire Prämie; allerdings muss wegen der Sicherheit (umgekehrt mit Ruin- oder Insolvenzwahrscheinlichkeit bezeichnet) der Versicherungsgesellschaft ein „Sicherheitszuschlag“ (λ) sozusagen als „Preis für die Risikotragung“ gefordert werden, sodass sich das

Erwartungswertprinzip ergibt: П1(X) = (1+λ)EX, mit λ >0. Ebenfalls auf dem Erwartungswert der Schäden bauen auf das Varianzprinzip: П2(X) = EX + aVar(X), mit a >0 und das

Standardabweichungsprinzip: П3(X) = EX + bσX, mit b >0 und σX = [Var(X)]1/2. Von einer gewissen Bedeutung ist auch das

Nullnutzenprinzip: E[v(П4(X) – X)] = v[0] = 0, das durch die konkave Risikonutzenfunktion v(c) der Versicherungsgesellschaft definiert wird derart, dass die Prämie so zu bestimmen ist, dass der Erwartungsnutzen vor (c = 0) und nach Übernahme des Risikos X ((c = ПX) – X) gleich ist.

Zu kritisieren bleibt hier allerdings, dass die Auswahl eines Prämienkalkulationsprinzips arbiträr bleibt, sie alle anbieterorientiert sind und nicht die Reaktion der Versicherungskäufer bzw. des Marktes berücksichtigen, und sie nur die Schadenverteilung und nicht auch die Anlageergebnisse betrachten. Deshalb muss auch auf andere Kriterien zurück gegriffen werden.

5.3 Kapitalmarkttheoretische Preisbildung

Der Versicherungsvertrag ist ein Kapitalanlagemedium und steht deshalb mit anderen Finanzprodukten in Konkurrenzbeziehungen, und muss sich folglich auf dem Kapitalmarkt behaupten. Damit wird die Kalkulation der Prämie eine Aufgabe des Managements, die so zu erfolgen hat, dass die Eigenkapitalrendite der Versicherungsgesellschaft unter Berücksichtigung des Risikos den Konditionen entspricht, die die Eigentümer allgemein auf dem Kapitalmarkt erzielen können.

Daraus folgt für die Gleichung für das Versicherungs-CAPM (das Capital Asset Pricing Model)
$$ {\mathrm{Er}}_{\mathrm{U}}=-\mathrm{krf}+{\mathrm{\ss}}_{\mathrm{U}}\left({\mathrm{Er}}_{\mathrm{M}}\hbox{--} {\mathrm{r}}_{\mathrm{f}}\right); $$

in Worten: damit das Halten von Anteilscheinen an der betrachteten Versicherungsgesellschaft für den Investor den Konditionen am Kapitalmarkt entspricht, sind die Prämien so zu bestimmen, dass der erwartete Ertrag aus dem Risikozeichnungsgeschäft (ErU) eine Rendite gewährt, die der üblichen (risikoangepassten) Kapitalrendite entspricht, die sich daraus bemisst, wie das Risiko der Versicherungsgesellschaft sich zum Marktrisiko verhält, das durch die erwartete Rendite des Gesamtmarktes (ErM) und das Beta definiert ist. Entsprechend der oben geäußerten Kritik umfasst damit die kapitalmarktorientierte Prämie einen Zinsabschlag, der sich aus dem risikofreien Zinssatz rf und der durchschnittlichen Kapitalbindungsdauer ergibt. Die Versicherungskäufer bezahlen ja die Prämie am Periodenbeginn, während die Schäden im Laufe der Periode anfallen bzw. nach k Perioden bezahlt werden. Die Prämie enthält auch, wie oben, einen Preis für das Tragen des systematischen Risikos und dieser Preis ist gleich dem Zeichnungs-Beta multipliziert mit der Marktrisikoprämie. Sind also die Erträge des Risikozeichnungsgeschäfts positiv korreliert mit dem Gesamtmarkt, verdient die Versicherungsgesellschaft einen positiven Risikozuschlag. Aber auch bei einem positiven Risikozuschlag kann die Rendite des Risikogeschäfts im Erwartungswert durchaus negativ sein.

Problematisch an der Ableitung ist zum einen, dass es sich um ein statisches Modell handelt, während Versicherungsverträge im Allgemeinen durch mehrperiodische Zahlungsströme gekennzeichnet sind. Zum anderen ist zu berücksichtigen, dass Versicherungsgesellschaften insolvent werden können. Folglich sollte man hier langfristige Gleichgewichtsprämien mit begrenzter Haftung untersuchen und auf das Optionspreis-Modell eingehen (vgl. J. David Cummins 1991 und Zweifel und Eisen 2003, Kap. 6).

6 Asymmetrische Information: Moralisches Risiko und adverse Selektion

Die Ableitung des Versicherungsgleichgewichts im Abschn. 4.6 setzt voraus, dass alle Marktteilnehmer dieselben Informationen besitzen, damit diese vollständigen und vollkommenen Märkte zustande kommen. Dies ist aber sicherlich eine heroische Annahme. Während aber bei Märkten für persönliche Dienstleistungen der Informationsvorsprung beim Anbieter angesiedelt ist (so hat der Arzt als Experte üblicherweise einen Informationsvorteil vor den Patienten), geht die Literatur bei den Finanzdienstleistungen traditionell von einem Informationsvorteil auf Seiten des Käufers aus. Es ist der Kreditnehmer und nicht die Bank, der die Erfolgschancen eines zu finanzierenden Projektes besser kennt, und es ist der Versicherungskäufer und nicht die Versicherungsgesellschaft, der die zukünftigen Eintrittswahrscheinlichkeiten besser abschätzen kann. Dass dies selbstverständlich nicht immer gilt, insbesondere wenn es um die Abschätzung von komplexen Wertpapieren, die die Bank selbst konstruiert, oder um die Solvenzwahrscheinlichkeit einer Versicherungsgesellschaft geht, hat die Finanzkrise 2008/2009 sehr deutlich gemacht. Trotzdem wird unterstellt, dass die Versicherungsgesellschaft nur das Schadenereignis als solches und die Vertragswahl des Versicherungskäufers beobachten kann, aber nicht den Risikotyp noch seine Anstrengungen hinsichtlich Prävention – behaupten kann man viel, beweisen ist schwierig. Dieser Informationsnachteil der Versicherungsgesellschaft hat zwei Konsequenzen, die im Folgenden kurz besprochen werden: moralisches Risiko und adverse Selektion (oder negative Auslese).

6.1 moralisches Risiko

Schon Kenneth Arrow (1963) unterscheidet zwei Arten von moralischem Risiko, je nach der zeitlichen Abfolge der Aktivitäten des Individuums hinsichtlich der Bestimmung des Zustandes (oder Ereignisses). Sie werden folglich ex ante moralisches Risiko (m. R.) oder ex post moralisches Risiko (m. R.) genannt. Beim ex ante m. R. wird die Aktivität vor der Realisierung des Ereignisses, beim ex post m. R. danach vorgenommen.

Beim ex ante m. R. geht es insbesondere darum, dass die Versicherungsgesellschaft das Auftreten eines (Schaden-)Ereignisses beobachten kann, aber weder die Aktionen des Individuums, die sich auf die Eintrittswahrscheinlichkeit und die Schwere des Ereignisses beziehen können, oder auf beides, noch den Zustand selbst. Gegeben diese Informationsstruktur kann man davon ausgehen, dass ein Versicherungsvertrag die Anreize zur Prävention verwässert. Folglich gibt es einen Trade-off zwischen Risikoteilung und Prävention. In einem einfachen Modell mit zwei Zuständen (Schaden oder kein Schaden), wobei die Eintrittswahrscheinlichkeit von präventiven Maßnahmen abhängt, hat Steven Shavell (1979) gezeigt, dass partielle Versicherung bei m. R. optimal ist. Dabei hat er auch die Kosten der Prävention für die optimale Lösung hervorgehoben. Wichtig ist auch, dass m. R. allein nicht die Vorteile von Versicherung aufhebt. Interessant ist ferner, dass unter gewissen Bedingungen die optimale Versicherungsdeckung mit der Größe des Verlustes zurückgeht, weil große Verluste ein geringes Niveau an Prävention signalisieren.

M. R. kann auch die Existenz und die Optimalitätseigenschaften eines Versicherungsmarktgleichgewichts beeinflussen. Da die Marktpreise nicht mehr die (sozialen) Opportunitätskosten widerspiegeln, kann eine staatliche Intervention die Gesamtwohlfahrt erhöhen (vgl. Eisen 1986).

Ex post m. R. besteht darin, dass der Versicherungskäufer nach dem Eintritt des Schadens Einfluss auf dessen Höhe haben kann. Dies ist insbesondere dort möglich, wo die Leistung der Versicherung nicht feststeht, sondern eben von der Schadenhöhe abhängt. Dann kennt der Versicherungskäufer den „wahren“ Schaden, Verifikation via Auditing durch die Versicherungsgesellschaft ist aber kostspielig. Man kann nun jedoch wieder zeigen, dass zufälliges Auditing die erwarteten Auditingkosten senkt, ohne die Anreize des Versicherungskäufers zu verdrehen.

6.2 Adverse Selektion

Asymmetrische Information kann auf Versicherungsmärkten auch die Form von adverser Selektion (negativer Auslese) annehmen, wenn der Versicherer das individuelle Risiko eines Individuums nicht feststellen kann, wenn der Versicherungsvertrag gezeichnet wird. Es liegt „hidden information“ vor. Das Individuum ist hier wieder besser informiert, es kennt seinen Risikotyp. George Akerlof (1970) hat gezeigt, (allerdings zuerst am Beispiel von Gebrauchtwagen) dass dann, wenn Versicherungsgesellschaften nur unvollständig informiert sind über die Unterschiede im Risikotyp von angehenden Versicherungskäufern, einige Versicherungsmärkte nicht existieren und andere ineffizient sein werden.

Michael Rothschild und Joseph Stiglitz (1976) haben in einem solchen Modell mit zwei verschiedenen Risikotypen, in dem die Versicherungsgesellschaften einen Satz von Policen mit unterschiedlichen Prämien und Deckungen anbieten, gezeigt, dass ein Pooling- Gleichgewicht, in dem beide Risikotypen dieselbe Police kaufen, nicht existieren kann. Die Bedingungen für „separierende“ Verträge, wo also die verschiedenen Risikotypen unterschiedliche Policen kaufen, können nun dazu führen (müssen es aber nicht), dass die Versicherungskäufer die „hidden information“ aufdecken. Ein solches separierendes Gleichgewicht ist charakterisiert durch Gewinne von Null für jeden Vertrag, durch partielle Versicherung der „guten“ Risiken und Vollversicherung der „schlechten“ Risiken. Existieren aber relativ wenige „schlechte“ Risiken, dann haben Rothschild und Stiglitz auch gezeigt, dass dann weder ein separierendes noch ein Pooling-Gleichgewicht existiert.

Rothschild und Stiglitz (1970) haben ihre Ergebnisse für ein Nash-Gleichgewicht abgeleitet, also ein Gleichgewicht, in dem jede Versicherungsgesellschaft annimmt, dass die Vertragsangebote der Konkurrenten unabhängig von ihrem eigenen Angebot sind. Verändert man diese Annahme, in dem man etwa zulässt, dass die Versicherungsgesellschaft antizipiert, dass andere Versicherungsgesellschaft solche Policen vom Markt nehmen, die unprofitabel werden als Folge von neuen Vertragsangeboten, dann kann die Nichtexistenz beseitigt werden (vgl. dazu auch Eisen 1979; Abschn. 5.1; Eisen 1986 und Zweifel und Eisen 2003, Abschn. 7.3). Das hieraus resultierende Wilson-Miyasaki-Spence-Gleichgewicht ist dann ein Paar von Policen, bei dem die Gewinne bei den „guten“ Risiken zur Subventionierung der Verluste bei den „schlechten“ Risiken herangezogen werden. Ein WMS-Gleichgewicht existiert unabhängig vom Anteil der „schlechten“ Risiken. Existiert ein Rothschild-Stiglitz-Gleichgewicht, ist es gleichzeitig ein WMS-Gleichgewicht, und ein WMS-Gleichgewicht ist immer (second best) effizient.

In vielen Versicherungsmärkten klassifizieren die Versicherungsgesellschaften die Risiken nach unterschiedlichen Kriterien. In der Kfz-Versicherung scheinen die Unfallwahrscheinlichkeiten deutlich mit dem Alter und dem Geschlecht des Fahrers korreliert zu sein. Da Alter und Geschlecht nun sehr leicht und sehr billig beobachtet werden können, zwingt anscheinend der Wettbewerb die Versicherungsgesellschaften höhere Prämien für junge männliche Fahrer zu verlangen. Trotzdem wird in vielen Märkten die Kategorisierung mit bestimmten Variablen verboten. Aber: Ist die (statistische) Kategorisierung auch effizient in diesem Fall? Keith Crocker und Arthur Snow (1986) haben gezeigt, dass kostenlose unvollständige Kategorisierung die Effizienz fördert (Effizienz hier verstanden als zweitbeste Effizienz gegeben die Selbstselektionsbedingung aufgrund asymmetrischer Information). Ist die Klassifizierung jedoch mit Kosten verbunden, sind die Effizienzeigenschaften unklar. Lässt man aber ein Steuer-Subventions-System im Sinne von WMS zu, dann haben sie gezeigt, dass kein Individuum durch eine solche Klassifizierung verlieren muss.

7 Versicherungsaufsicht und Regulierung

Die Versicherungswirtschaft gehört traditionell zu den stark regulierten Bereichen. Für deren Begründung wurde besonders im deutschsprachigen Raum eine Reihe von Argumenten vorgebracht (im Wesentlichen bezeichnet als „Besonderheitenlehre“). Deren genauere Analyse zeigt jedoch, dass sie nicht immer haltbar sind bzw. viele Ergebnisse auch mit weniger drastischen Maßnahmen erzielt werden können (vgl. Zweifel und Eisen 2003, Kap. 8).

Im Wesentlichen befasst sich die Regulierung der Versicherungsmärkte mit der Solvenz-Regulierung, der Prämienregulierung, der Produktregulierung und der Regulierung der Kapitalanlagen. Da unterschiedliche Regulierungsdichten in verschiedenen Staaten bestehen, könnte am Anfang die Frage nach den Ursachen dieser Unterschiede stehen. Ein interessanter Ansatz geht hier auf George Stigler zurück, den namentlich S. Peltzman (1976) ausgearbeitet hat. Hier wird ein Markt für Regulierung unterstellt, wobei die Anbieter Regierung und Verwaltung sind, die Nachfrage geht teilweise von den Versicherungskäufern und teilweise von der Industrie aus. Die Angebotskurve verläuft steigend, d. h. mit zunehmender Regulierung steigen die Kosten, die Nachfragekurve sinkt, weil die Zahlungsbereitschaft beider Gruppen für zusätzliche Anstrengungen sinkt.

Die Solvenzregulierung bezieht sich auf direkte Kontrollen von gewissen Aktivitäten und auf das Berichtswesen. Direkte Kontrollen richten sich auf Minimum-Kapital-Anforderungen und die Begrenzung von Kapitalanlageentscheidungen. Daneben gibt es noch Garantiefonds, die bei der Abwicklung von Versicherungsgesellschaften eingreifen. Die Diskussion um Solvency II und III zeigen deutlich, in welche Richtung sich hier Europa bewegen wird. Auf dieses dreistufige System soll hier aber nicht eingegangen werden.

Aufbauend auf Karl Borch (1962) wird das Insolvenzrisiko von Versicherungsgesellschaften so erfasst, dass die Versicherungsgesellschaft den Marktwert maximiert, die Nachfrage hinsichtlich des Insolvenzrisikos unelastisch ist, und dass die Kapitalanlage Kosten verursacht. Dann wächst der optimale Kapitalstock mit der Größe des Verlustes, den die Aktionäre erleiden würden, wenn die Schadenzahlungen das finanzielle Vermögen der Versicherungsgesellschaft übersteigen. Daneben kann man noch den Verlust an Reputation einsetzen. Hinsichtlich der Prämienregulierung kommt es wesentlich darauf an, ob die Versicherungsgesellschaften den fehlenden Preiswettbewerb durch „Ausgabenwettbewerb“ oder durch Qualitätswettbewerb ersetzen, ob also in stark regulierten Märkten nicht nur die Preise höher sind (und sogar das Versicherungsangebot beschränkt), sondern eventuell auch eine bessere Produktqualität angeboten wird.

Fußnoten

  1. 1.

    Aufgrund verschiedener Anomalien bei der Entscheidung unter Risiko, die empirisch schon von Maurice Allais und später durch Dan Ellsberg aufgezeigt wurden, und die damit zu tun haben, dass Individuen kleine Wahrscheinlichkeiten unter- und große überbewerten oder dass die Individuen für den Fall von Verlusten eine stärkere und für den Fall eines Gewinnes eine geringere Risikoaversion zeigen, wurden in den 1980er-Jahren Alternativen entwickelt.

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  1. 1.Ehemals Goethe Universität Frankfurt am MainMünchenDeutschland

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