Functions π(x), ψ(x), θ(x), and the Sequence of Prime Numbers

1 § VII.1 Estimates on π(x). Chebyshev’s theorem. The prime number theorem

• 1)

  L. Euler. Variae Observationes Circa Series Infinitas. Opera Omnia, Leipzig: B.G. Teubner, 1924, I, 14, pp. 216–244 (original 1748.)

  Remark. For an exact proof, see

  E. Landau. Handbuch, Leipzig, 1909.

• 2)

  • a) There exist constants A>0, a>0, such that for all x≥2

    
  • b)

    P. Chebyshev. Mémoire sur les nombres premiers. J. Math. Pures appl. 17 (1852), 366–390.

• 3)
  • a)

    J. Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France 24 (1896), 199–220; and C.J. de la Vallée Poussin. Recherches analytiques sur la théorie des nombres (3 parts). Ann. Soc. Sci. Bruxelles 20, Part II (1896), 183–256, 281–397.

  • b)

    C.J. de la Vallée Poussin. Sur la fonction ζ(s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieures à une limite donnée. Mém. couronnés et autres mémoires. Acad. Royal Sci. Lettres Beaux-Arts Belgique 59, 1899–1900.

    Remark. The first elementary proof...