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Konvektive Wärmeübertragung bei hohen Strömungsgeschwindigkeiten

  • Bernhard WeigandEmail author
  • Nimai-Kumar Mitra
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Part of the Springer Reference Technik book series (SRT)

Zusammenfassung

Dies ist ein Kapitel der 12. Auflage des VDI-Wärmeatlas.

1 Einführung

Hochgeschwindigkeitseffekte auf den Wärmeübergang spielen eine wichtige Rolle in verschiedenen technischen Anwendungen, wie z. B. beim Wiedereintritt von Raumflugkörpern, für den Wärmeübergang an Gasturbinenschaufeln oder in Raketenmotoren. Strömungen mit hohen Geschwindigkeiten sind gekennzeichnet durch den großen Energieinhalt und die beträchtliche dissipative Erwärmung (Reibungswärme) in Wandnähe. Der Wärmeübergang bei hohen Geschwindigkeiten beinhaltet prinzipiell zwei verschiedene Phänomene:
  • Umwandlung von mechanischer Energie in thermische Energie. Dies resultiert in einer starken Variationen der Temperatur im Fluid

  • Starke Variation der Stoffwerte aufgrund der großen Temperaturänderungen.

Die Mach-Zahl ist die charakteristische dimensionslose Kenngröße, welche die Kompressibilität einer Strömung beschreibt (Ma = w/ws). Für kleine Mach-Zahlen (Ma < 0,3) spielen die oben angegebenen Phänomene praktisch keine Rolle (da die relative Dichteänderung klein ist) und die Strömung kann als inkompressibel betrachtet werden. Das Quadrat der Schallgeschwindigkeit ws2 ist hierbei definiert durch die Druckänderung bezogen auf die Dichteänderung für eine isentrope Zustandsänderung. Die Schallgeschwindigkeit lässt sich für ein ideales Gas mithilfe der thermischen Zustandsgleichung einfach auswerten und man erhält

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{w}_s=\sqrt{{\left(\partial p/\partial \rho \right)}_s}\, \\ {}{w}_s=\sqrt{\kappa RT}=\sqrt{\kappa \left(\tilde{R}/\tilde{M}\right)T}\;\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\;\mathrm{ein}\;\mathrm{ideales}\;\mathrm{Gas}.\end{array}} $$
(1)
Überlicherweise werden Strömungen mit Machzahlen größer als 0,3 als kompressible Strömungen betrachtet. Allerdings können auch bei Strömungen mit sehr kleinen Machzahlen große Änderungen in den Stoffwerten durch Temperaturänderungen auftreten. Solche Fälle lassen sich durch die Verwendung von temperaturabhängigen Stoffwerten für eine inkompressible Strömung berechnen [1, 2]. Diese Art von Strömungen sollen im Folgenden nicht betrachtet werden. Die Strömungen werden nun wie folgt eingeteilt:

Ma < 0,3

Unterschallströmung (inkompressibel)

0,3 ≤ Ma < 0,7

Unterschallströmung

0,7 ≤ Ma < 1,3

Transsonische Strömung

1,3 ≤ Ma < 6

Überschallströmung

Ma ≥ 6

Hyperschallströmung

Ein wichtiges Kennzeichen von Strömungen mit Machzahlen größer als eins ist, dass Stöße in der Strömung auftreten können. Diese Stöße resultieren in einem starken Druck- und Temperaturanstieg hinter dem Stoss. Abb. 1 zeigt eine typische Stoßstruktur, die sich an einem angeströmten stumpfen Körper einstellt, zusammen mit den resultierenden Geschwindigkeits- und Temperaturprofilen [3]. Am Staupunkt des Körpers wird die gesamte kinetische Energie der Strömung in thermische Energie umgewandelt. Die Eigen- oder Stautemperatur charakterisiert den Energieinhalt der Strömung. Sie ergibt sich, wenn die Strömung mit der Geschwindigkeit w und der statischen Temperatur T adiabat am Staupunkt oder an einer Wand gestoppt wird
Abb. 1

Schematische Darstellung der Überschallströmung (Ma > 1) um einen stumpfen Körper. Für Ma ≫ 1 folgt der Stoß praktisch der Körperkontur [3]

$$ {T}_0={T}_{\infty }+{w}^2/2{c}_p={T}_{\infty }+\Delta T. $$
(2)

Für ein ideales Gas mit einem konstanten Wert der spezifischen Wärme bei konstantem Druck, cp, lässt sich diese Gleichung wie folgt umschreiben

$$ {T}_0={T}_{\infty}\left(1+{\mathrm{Ma}}^2\left(\kappa -1\right)/2\right). $$
(3)

Die höchsten Temperaturen treten normalerweise im Staupunkt des Körpers auf. Diese Temperaturen können weit höher als die Schmelztemperatur des Materials sein. Verlangsamt man eine viskose Hochgeschwindigkeitsströmung an einer adiabaten Wand, so stellt sich in Abhängigkeit der Prandtl-Zahl des Fluids die adiabate Wandtemperatur Taw ein, die sich von der Stautemperatur T0 unterscheidet. Die adiabate Wandtemperatur kann mittels des Recovery-Faktors r berechnet werden. Dieser ist definiert durch

$$ r=\frac{T_{aw}-{T}_{\infty }}{T_0-{T}_{\infty }}. $$
(4)
Aus Messungen und analytischen Betrachtungen weiss man, dass der Recovery-Faktor wie folgt approximiert werden kann

Laminare Strömungen

(0,6 < Pr < 15): r ≈ Pr1/2

Turbulente Strömungen

(0,25 < Pr < 10): r ≈ Pr1/3

Der Recovery-Faktor ist nicht nur ein Temperaturverhältnis, sondern gibt auch die prozentuale kinetische Energie an, die in thermische Energie während der Abbremsung des Fluids an der adiabaten Wand umgewandelt wird. Für eine turbulente Strömung ist der Recovery-Faktor auch abhängig von der Struktur der Turbulenz. Rotta [4] gibt eine Gleichung an, die den Recovery-Faktor für eine turbulente Strömung als Funktion des Widerstandsbeiwertes und der turbulenten Prandtl-Zahl beschreibt.

Die Wärmestromdichte in einer Hochgeschwindigkeitsströmung lässt sich durch

$$ {\dot{q}}_w=-\lambda {\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)}_w=\alpha \left({T}_{aw}-{T}_w\right) $$
(5)
beschreiben, wobei n die Koordinate in Normalenrichtung von der Wand angibt. Es ist von großer Wichtigkeit, dass man sich klar macht, dass bei einer Hochgeschwindigkeitsströmung die richtige treibende Temperaturdifferenz für den Wärmeübergang (TawTw) ist. Dies zeigt, dass die Richtung des Wärmeübergangs (von der Strömung zum Körper oder vom Körper in die Strömung) davon abhängt, ob die Oberflächentemperatur des Körpers unterhalb oder oberhalb der adiabaten Wandtemperatur liegt [5, 6, 7, 8]. Für eine gekühlte Wand gilt also Tw < Taw und für eine geheizte Wand Tw > Taw.

Die Reibungswärme steht nicht in direktem Zusammenhang mit der Druckabhängigkeit der Dichte, da sie vom Geschwindigkeitsgradienten abhängt. Ein Maß für die Reibungswärme ist die Eckert- Zahl als Verhältnis von thermischer Energie zur Enthalpie. Für ein ideales Gas gilt

$$ \mathrm{Ec}=\frac{w_{\infty}^2}{2{c}_p{T}_{\infty }}=\frac{\left(\kappa -1\right)}{2}{\mathrm{Ma}}_{\infty}^2. $$
(6)

Diese Form der Darstellung macht deutlich, dass bei inkompressiblen Strömungen die übliche Praxis der Vernachlässigung der Reibungsterme in der Energiegleichung gerechtfertigt ist, da die Mach- Zahl klein ist. Bei Hyperschallströmungen spielt die dissipative Erwärmung durch Reibung (Aerodynamic Heating) eine kritische Rolle [6]. Durch die Reibungswärme wird die Fluidtemperatur in Wandnähe (z. B. in der Grenzschicht) höher als die Wand- bzw. Anströmtemperatur.

Neben der Benutzung der Nusselt-Zahl zur Beschreibung des Wärmeübergangs ist es sinnvoll die Stanton-Zahl, St, einzuführen. Sie ist durch Gl. (7) definiert

$$ \mathrm{St}=\frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{RePr}}=\frac{{\dot{q}}_w}{\rho_{\infty }{w}_{\infty }{c}_p\left({T}_{aw}-{T}_w\right)}=\frac{\alpha }{\rho_{\infty }{w}_{\infty }{c}_p}. $$
(7)

Die Stanton-Zahl beinhaltet anders als die Nusselt-Zahl keine charakteristische Länge. Sie beschreibt das Verhältnis des aktuell übetragenen zum maximal möglichen Wärmestrom pro Fläche. Für St → 1 wird der Energiestrom, der auf die Körperfläche auftrifft vollständig vom Körper aufgenommen falls r = 1 und Tw = 0 sind.

Beispiel 1

Betrachtet wird eine von Luft (Pr = 0,72, κ = 1,4) angeströmte adiabate ebene Platte. Die Anströmtemperatur beträgt 300 K. Gesucht sind die Ruhetemperatur, der Recovery- Faktor und die adiabate Wandtemperatur an einem Ort 1 cm von der Vorderkante, wenn die Anströmungsmachzahl Ma 1,0 bzw. 6,0 beträgt.

Lösung

Annahme: Luft ist ein thermisch ideales und kalorisch perfektes Gas

Stoffwerte: Individuelle Gaskonstante R = 287,1 J kg−1 K−1

Aus Gl. (2) folgt mit κ = 1,4 und T = 300 K:
$$ {T}_0=360\, \mathrm{K}\, \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\, {\mathrm{Ma}}_{\infty }=1\, \mathrm{und}\, {T}_0=2460\, \mathrm{K}\, \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\, {\mathrm{Ma}}_{\infty }=6. $$
Zur Berechnung des Recovery- Faktors muss der Charakter der Strömung (laminar oder turbulent) über die Reynolds-Zahl bestimmt werden:
$$ {w}_{\infty }={Ma}_{\infty }{w}_s;{w}_s=\sqrt{\kappa RT}=347,2m/s. $$
Somit ist
$$ {\displaystyle \begin{array}{c}{w}_{\infty }=347,2\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\, \mathrm{bei}\, {\mathrm{Ma}}_{\infty }=1\, \mathrm{und}\\ {}{w}_{\infty }=2083,2\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\, \mathrm{bei}\, {\mathrm{Ma}}_{\infty }=6.\end{array}} $$

Nimmt man in erster Näherung v = 16 · 10−6 m2/s bei T = 300 K an, ergibt sich bei L = 10−2 m und Ma = 1, Re = w L/v = 2,17 · 105, d. h. laminare Strömung nahe dem Umschlag, r = Pr1/2 = 0,8485 und Ma = 6, Re = 1,302 · 106, d. h. turbulente Strömung, r = Pr1/3 = 0,8963.

Aus den Gl. (3, 4) ergibt sich:
$$ {T}_{aw}={T}_{\infty }+{rw}_{\infty}^2/\left(2{c}_p\right)={T}_{\infty}\Big(1+r\left(\left(\kappa -1\right)/2{Ma}_{\infty}^2\right), $$
$$ {\displaystyle \begin{array}{c}{T}_{\mathrm{aw}}=350,9\, \mathrm{K}\, \mathrm{bei}\, {\mathrm{Ma}}_{\infty }=1\, \mathrm{und}\\ {}{T}_{\mathrm{aw}}=2236\, \mathrm{K}\, \mathrm{bei}\, {\mathrm{Ma}}_{\infty }=6.\end{array}} $$
Bemerkung:
  1. (i)

    Der Unterschied zwischen der Anströmtemperatur und der adiabaten Wandtemperatur kann bei einer hohen Machzahl groß sein. Bestimmt man v bei Taw = 2236 K, ist die Reynolds-Zahl gegenüber T = 300 K um einen Faktor von ca. 25 reduziert. Dann ist die Strömung bei Ma = 6 laminar, r = 0,8485 und Taw = 2132,76 K. Daher kann die Temperatur, bei der die Stoffwerte bestimmt werden, einen starken Einfluss ausüben.

     
  2. (ii)

    Die Temperatur am Staupunkt eines Wiedereintrittkörpers kann bei Ma = 6 die adiabate Wandtemperatur Taw = 2236 K erreichen. Dies wird in der Praxis durch geeignete Kühlung (z. B. Ablation) verhindert.

     

Für Strömungen mit höheren Machzahlen (Hyperschallströmungen) können zusätzliche thermodynamische Vorgänge, wie z. B. Ionisation sowie Dissoziation, Rekombination und Schwingungsnichtgleichgewicht bei mehratomigen Gasen [6] auftreten. Diese Effekte lassen sich z. B. bei der Strömung am Wiedereintrittskörper und Hyperschallströmungen in Raketendüsen beobachten. Bei jedem Körper, der sich mit Überschall- oder Hyperschallgeschwindigkeit bewegt oder angeströmt wird, entstehen Verdichtungsströße, hinter denen die Temperatur erheblich zunimmt. Hierbei können bei hohen Machzahlen Nichtgleichgewichtsvorgänge sowie Dissoziation und chemische Reaktionen der Gase auftreten. Die thermische Zustandsgleichung für ein dissoziiertes Gas weicht hierbei von der Gleichung für ein ideales Gas ab.

Die Anregung der Vibrations-Energiemoden der Moleküle und die Dissoziation der Moleküle in Atome reduziert die Eigentemperatur durch die nötigen Energieaufnahmen für diese Reaktionen. Dies ist in Abb. 2 gezeigt [6, 9], in der ΔT nach Gl. (2) für verschiedene Strömungsgeschwindigkeiten für ideale und reale Gase aufgetragen ist. Das dissoziierte Gas kann wieder an der Körperoberfläche rekombinieren, was zu einer deutlichen Wärmefreisetzung an der Oberfläche führt. Hierbei ist der katalytische Charakter der Oberfläche wichtig [9, 10]. Da der Wärmeübergang beim Auftreten von Nichtgleichgewichtseffekten stark von der Art des Nichtgleichgewichtsvorgangs selbst abhängt, ist eine allgemeine Analyse von Nichtgleichgewichtsvorgängen in Bezug auf den Wärmeübergang nicht besonders sinnvoll und würde bei weitem den Rahmen dieses Beitrags sprengen. Der Leser sei z. B. auf [9, 10, 11] für eine detaillierte Darstellung dieser Effekte verwiesen.
Abb. 2

Temperaturerhöhung ΔT (Gl. (2)) als Funktion der Fluggeschwindigkeit

(w = 7,9 km/s ist die Geschwindigkeit eines geostationären Satelliten, w = 11,2 km/s ist die Fluchtgeschwindigkeit [6]).

Für Hyperschallströmungen, wie sie z. B. in der Raumfahrttechnik von Interesse sind, lässt sich der Wärmeübergang mithilfe der Theorie verdünnter Gase beschreiben. Diese Effekte werden in diesem Abschnitt nicht diskutiert. Der Leser sei auf die Darstellung in Kap. „Wärmeübertragung und Strömung in verdünnten Gasen“ dieses Buchs verwiesen.

Die folgende Diskussion der konvektiven Wärmeübertragung bei hohen Strömungsgeschwindigkeiten basiert auf den Navier-Stokes Gleichungen und der Energiegleichung. Diese Gleichungen müssen zusammen mit einer thermischen und einer kalorischen Zustandsgleichung gelöst werden und sind für eine kompressible Strömung stark miteinander gekoppelt. Wie schon vorher beschrieben, müssen normalerweise temperaturabhängige Stoffwerte für kompressible Strömungen berücksichtigt werden. Besonders die dynamische Viskosität variiert sehr stark mit der Temperatur. Die dynamische Viskosität kann für verschiedene Gase durch die Sutherland-Formel approximiert werden [6]

$$ \frac{\eta }{\eta_r}={\left(\frac{T}{T_r}\right)}^{3/2}\frac{T_r+{T}_1}{T+{T}_1}. $$
(8)

In dieser Gleichung ist η r eine Referenzgröße bei der Temperatur Tr = 288 K. Die Größe T1 ist eine Konstante und gleich 110 K für Luft. Die Sutherland-Formel lässt sich speziell für analytische Betrachtungen durch die einfachere Beziehung

$$ \frac{\eta }{\eta_r}={\left(\frac{T}{T_r}\right)}^{\omega },0,5\le \omega \le 1 $$
(9)
approximieren. Die anderen Stoffwerte (cp, λ, Pr) können aus Teil D entnommen werden. Falls keine Nichtgleichgewichtseffekte vorliegen, können cp and Pr auch eventuell konstant gesetzt werden. Dies hängt natürlich von dem betrachteten Temperaturbereich ab. Die Wärmeleitfähigkeit λ lässt sich aus der Prandtl-Zahl berechnen: λ = ηcp/Pr.

2 Wärmeübergang für externe Strömungen (angeströmte Körper)

Im Unterschied zu der Vielzahl an Korrelationen, die es für den Wärmeübergang in inkompressibler Strömung gibt, ist die Anzahl der Korrelationen zur Bestimmung des Wärmeübergangs bei einer Hochgeschwindigkeitsströmung stark begrenzt. Kann man die Stoffwerte als konstant betrachten, so lassen sich alle bisher im VDI Wärmeatlas genannten Korrelationen für den Wärmeübergang auch weiterhin für hohe Strömungsgeschwindigkeiten benutzen, falls man den Wärmeübergangskoeffizient an die korrekte treibende Temperaturdifferenz anpasst, die durch Gl. (5) gegeben wurde [5, 7]. Vielfach lässt sich allerdings diese Annahme nicht machen.

Im Folgenden werden einige Lösungen für einfache Fälle angegeben. Für komplexere Fälle lässt sich das Problem normalerweise nur noch numerisch lösen. Für grenzschichtartige Strömungen kann man dies z. B. gut mithilfe eines Grenzschichtprogramms machen [5, 8]. Ist diese Vereinfachung nicht möglich, so lassen sich 2D oder 3D CFD Methoden gut einsetzen [12].

2.1 Längsangeströmte ebene Platte mit laminarer Strömung

2.1.1 Strömung ohne Stoß-Grenzschicht-Wechselwirkung

Abb. 3 zeigt die Temperaturverteilung in der Grenzschicht an einer ebenen Platte [3]. In Abb. 3a sind Temperaturverläufe für eine gekühlte, eine adiabate und eine geheizte Wand dargestellt. Der Temperaturüberschuss resultiert bei der gekühlten Wand aus der Reibungswärme. Abb. 3b zeigt die entsprechenden Temperaturprofile ohne Berücksichtigung der Reibungswärme. Wie man an Abb. 3 erkennen kann, hängt das Temperaturprofil sehr stark von der Umwandlung der kinetischen Energie in thermische Energie innerhalb der Grenzschicht ab. Wenn die Prandtl-Zahl Pr = ηcp/λ näherungsweise als eins gesetzt werden kann (was eine recht gute Annahme für viele Gase ist), so kann man einen exakten Zusammenhang zwischen dem Temperaturprofil und dem Geschwindigkeitsprofil ableiten (Busemann und Crocco [6]). Für eine adiabate Wand ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen Temperatur und Geschwindigkeit
Abb. 3

Strömung über eine ebene Platte mit typischem Temperaturprofil in der Grenzschicht. a.) mit dissipativer und b.) ohne dissipative Erwärmung [3]

$$ T={T}_{\infty }+\left({w}_{\infty}^2-{w}_x^2\right)/\left(2{c}_p\right). $$
(10)

Hieraus erhält man die adiabate Wandtemperatur, wenn man Gl. (10) an der Plattenoberfläche (wx = 0) auswertet. Für ein ideales Gas erhält man

$$ {T}_{aw}={T}_{\infty }+{w}_{\infty}^2/\left(2{c}_p\right)={T}_{\infty}\left(1+{\mathrm{Ma}}_{\infty}^2\left(\kappa -1\right)/2\right), $$
(11)
wobei T, w und Ma die Temperatur, die Geschwindigkeit und die Mach-Zahl der Anströmung sind. Für eine konstante Wandtemperatur der Platte ergibt sich die folgende analytische Lösung für Pr = 1
$$ \frac{T}{T_{\infty }}=1+\frac{1}{2}{\mathrm{Ma}}_{\infty}^2\left(\kappa -1\right)\left(1-{\left(\frac{w_x}{w_{\infty }}\right)}^2\right)+\frac{T_w-{T}_{aw}}{T_{\infty }}\left(1-\frac{w_x}{w_{\infty }}\right). $$
(12)

Für Pr ≠ 1 lassen sich die Gl. (11, 12) in erster Näherung (siehe hierzu z. B. Walz [13]) verwenden, indem man den Recovery-Faktor einführt. Man erhält

$$ {T}_{aw}={T}_{\infty}\left(1+r{\mathrm{Ma}}_{\infty}^2\left(\kappa -1\right)/2\right), $$
(13)
$$ T/{T}_{\infty }=1+r\left({\mathrm{Ma}}_{\infty}^2\left(1-{\left({w}_x/{w}_{\infty}\right)}^2\right)\left(\kappa -1\right)/2\right)+\left({T}_w-{T}_{aw}\right)/{T}_{\infty}\left(1-{w}_x/{w}_{\infty}\right). $$
(14)

Die Gl. (12, 14) sind unabhängig von einem Viskositätsgesetz und berücksichtigen die Reibungswärme [6].

Aus Gl. (12) erkennt man, dass für \( \left({T}_w-{T}_{\infty}\right)/{T}_{\infty }>{\mathrm{Ma}}_{\infty}^2\left(\kappa -1\right)/2 \) der Wärmeübergang vom Fluid zur Oberfläche erfolgt. Für den Fall \( \left({T}_w-{T}_{\infty}\right)/{T}_{\infty }={\mathrm{Ma}}_{\infty}^2\left(\kappa -1\right)/2 \) gibt es keinen Wärmeübergang (adiabate Wand). Diese Zusammenhänge sind in Abb. 4 dargestellt [6]. Strebt die Mach-Zahl gegen Null, so ergibt sich aus Gl. (12) ein linearer Zusammenhang zwischen Temperatur und Geschwindigkeit. Dies entspricht den Gegebenheiten für eine inkompressible Strömung für Pr = 1. Der Wärmeübergangskoeffizient, der durch Gl. (5) definiert wurde, kann aus Gl. (12) berechnet werden. Dies führt auf den folgenden Zusammenhang zwischen der Nusselt-Zahl und dem Reibungsbeiwert
Abb. 4

Dimensionslose Temperaturverteilung Tw/T als Funktion des Geschwindigkeitsverhältnisses wx/w für eine kompressible laminare Strömung über eine ebene Platte mit Pr = 1 [6]

$$ \frac{{\mathrm{Nu}}_x}{{\operatorname{Re}}_x}=\frac{c_{fx}}{2}. $$
(15)

In Gl. (15) wurden hierbei die folgenden Definitionen benutzt

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{\mathrm{Nu}}_x=\frac{\alpha x}{\lambda },{\mathit{\operatorname{Re}}}_x=\frac{w_{\infty }{\rho}_{\infty }x}{\eta_{\infty }},\\ {}\alpha =-{\lambda}_w{\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)}_w/\left({T}_{aw}-{T}_w\right),\\ {}{c}_{fx}={\eta}_w{\left(\frac{\partial {w}_x}{\partial y}\right)}_w/\left({\rho}_{\infty }{w}_{\infty}^2/2\right).\end{array}} $$
(16)

Führt man die Stanton-Zahl in Gl. (15) ein, so ergibt sich

$$ \mathrm{St}=\frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{RePr}}=\frac{c_{fx}}{2\Pr }. $$
(17)

Gl. (17) gilt für Pr = 1, da Gl. (12) benutzt wurde. Falls die Prandtl-Zahl von eins abweicht, kann diese Gleichung in leicht modifizierter Form verwendet werden

$$ \mathrm{St}=\frac{c_{fx}}{2\Pr^{2/3}}. $$
(18)
Die Abb. 5 und 6 zeigen die Verteilungen des mittleren Reibungsbeiwertes und der Stanton-Zahl für Pr = 0,75 für verschiedene Machzahlen Ma und verschiedene Temperaturverhältnisse von Wandtemperatur zur Anströmtemperatur Tw/T. Die Diagramme basieren auf Berechnungen von van Driest [10]. Man erkennt deutlich, dass sowohl der Reibungsbeiwert, als auch die Stanton-Zahl für ein konstantes Temperaturverhältnis Tw/T mit wachsender Mach-Zahl abnehmen.
Abb. 5

Mittlerer Wert des Reibungsbeiwerts c f für eine ebene Platte [10]

Abb. 6

Mittlerer Wert der Stanton-Zahl St für eine ebene Platte [10]

2.1.2 Strömung mit Stoß-Grenzschicht-Wechselwirkung

Die Grenzschichtentwicklung an der ebenen Platte erzeugt eine Verdrängungsdicke. Hieraus resultiert ein Druckgradient ungleich null. Dies kann bei Hyperschallströmungen zu starken Effekten führen, da der Druckgradient einen Verdichtungsstoß in der Strömung verursachen kann oder aber die existierende Stoßstruktur bei einem konturierten Körper verändert. Der Druckgradient lässt sich hierbei durch den Wechselwirkungsparameter K charakterisieren [9, 10]. Die Größe K ist definiert als

$$ K={\mathrm{Ma}}_{\infty }d{\delta}_1(x)/ dx, $$
(19)
wobei δ1 die Verdrängungsdicke angibt.

Starke Wechselwirkung

Für diesen Fall ist der Parameter K ≫ 1 und man erhält einen starken Verdichtungsstoß. Hierfür gelten die Beziehungen [14]

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{p}_{\delta }/{p}_{\infty}\approx \left(\left(\kappa +1\right)/2\right)\kappa {K}^2\, \\ {}p(x)/{p}_{\infty }={p}_0\left({T}_w/{T}_0\right)\sqrt{C}{\mathrm{Ma}}_{\infty}^3/\sqrt{{\operatorname{Re}}_{x\infty }},\end{array}} $$
(20)
wobei pδ den Druck am Grenzschichtrand und p den Druck der Anströmung kennzeichnet. Weiterhin wurde der Chapman-Rubesin-Parameter C in Gl. (20) eingeführt [6]. Dies ist eine wichtige dimensionslose Größe für kompressible Strömungen. Sie ist definiert durch
$$ C=\frac{\rho \eta}{\rho_{\delta }{\eta}_{\delta }}, $$
(21)
wobei ηδ die dynamische Viskosität am Grenzschichtrand darstellt. Der Reibungsbeiwert und die Stanton-Zahl sind durch die folgenden Beziehungen gegeben
$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{c}_{fx}={c}_{f0}\left({T}_w/{T}_{\infty}\right){C}^{3/4}{\left({\mathrm{Ma}}_{\infty }/\sqrt{{\operatorname{Re}}_{x\infty }}\right)}^{3/2}\\ {}\mathrm{St}\approx 0,37{c}_{fx}.\end{array}} $$
(22)

In den Gl. (20, 22) kennzeichnet cf0 den Reibungsbeiwert für die ebene Platte ohne Wechselwirkung. Die Größen p0, T0 sind die Ruhegrößen, p(x) ist der lokale Druck entlang der Platte und Re x ist die Reynolds-Zahl gebildet mit den Anströmbedingungen (Anströmgeschwindigkeit und Stoffwerte bei der Anströmbedingung).

Schwache Wechselwirkung

Für diesen Fall ist K ≪ 1 und ein schwacher Verdichtungsstoß stellt sich ein. Hierfür können die folgenden Beziehungen benutzt werden

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{p}_{\delta }/{p}_{\infty }=1+\kappa K\\ {}p(x)/{p}_{\infty }=1+ KF\sqrt{C}{\mathrm{Ma}}_{\infty}^3/\sqrt{{\operatorname{Re}}_{x\infty }}\\ {}F=0,968/{\mathrm{Ma}}_{\infty}^2{T}_w/{T}_{\infty }+0,145\left(\kappa -1\right),\end{array}} $$
(23)
$$ \left({c}_{fx}-{c}_{f0}\right)\sqrt{{\operatorname{Re}}_{x\infty }}=2{CF}^2{\mathrm{Ma}}_{\infty}^3/\sqrt{{\operatorname{Re}}_{x\infty }}. $$
(24)
Die Stanton-Zahl lässt sich näherungsweise aus der Reynolds-Analogie berechnen. Der Ort der starken Wechselwirkung befindet sich direkt hinter der Vorderkante der Platte. Bei der schwachen Wechselwirkung befindet sich der Ort hinter dem Gebiet der starken Wechselwirkung. Abb. 7 zeigt die Druckverteilung für eine starke und für eine schwache Wechselwirkung an einer ebenen Platte [14].
Abb. 7

Druckverteilung bei Wechselwirkung an einer ebenen Platte [14]

2.2 Längsangeströmte ebene Platte bei turbulenter Strömung

Für eine turbulente Strömung über eine ebene Platte kann die Strömung und der Wärmeübergang numerisch z. B. mithilfe eines Grenzschichtverfahrens berechnet werden [5, 8]. Die Resultate stimmen hierbei recht gut mit Messungen überein. Nachfolgend wird eine halbempirsiche Gleichung für den Reibungsbeiwert cf nach van Driest [8] angegeben, die sehr schön die einzelnen Einflussgrößen aufzeigt. Die Gleichung nach van Driest basiert auf dem Mischungswegansatz für die turbulente Strömung und nimmt ein vereinfachtes Viskositätsgesetz nach Gl. (9) an. Der Reibungsbeiwert ist durch die folgende implizite Gleichung gegeben

$$ \frac{0,242\left({\sin}^{-1}{\varepsilon}_1+{\sin}^{-1}{\varepsilon}_2\right)}{A\sqrt{c_{fx}\left({T}_w/{T}_{\delta}\right)}}=0,41+\log \left({\operatorname{Re}}_x{c}_{fx}\right)-\omega \log \left({T}_w/{T}_{\delta}\right) $$
(25)
mit den folgenden Größen
$$ {\displaystyle \begin{array}{c}{\varepsilon}_1=\frac{2{A}^2-{B}^2}{Z},{\varepsilon}_2=\frac{B}{Z},Z={\left({B}^2+4{A}^2\right)}^{1/2}\\ {}B=\frac{T_{\delta }}{T_w}\left(1+r\frac{\kappa -1}{2}{\mathrm{Ma}}_{\delta}^2\right)-1,\\ {}A={\left[r\frac{\kappa -1}{2}{\mathrm{Ma}}_{\delta}^2\frac{T_{\delta }}{T_w}\right]}^{1/2}.\end{array}} $$
(26)

Hierbei kennzeichnet der Index „ δ“ wieder die Bedingungen am Grenzschichtrand. Zur Bestimmung des Wärmeübergangs kann man die Reynolds-Analogie heranziehen, wenn die Prandtl-Zahl Pr = 1 ist und weiterhin auch die turbulente Prandtl-Zahl Prt = 1 ist. Man erhält

$$ \mathrm{St}=\frac{c_{fx}}{2}. $$
(27)

Weicht die Prandtl-Zahl vom Wert eins ab, so kann man die folgende Gleichung benutzen, die von Kármán für Prt = 1 angegeben hat [6]

$$ \mathrm{St}=\frac{c_{fx}/2}{1+5\sqrt{c_{fx}/2}\left(\left(\Pr -1\right)+\ln \left(1+\frac{5}{6}\left(\Pr -1\right)\right)\right)}. $$
(28)

Ist zusätzlich noch Prt ≠ 1, so kann die folgende Gleichung nach Reichardt [6] benutzt werden

$$ \mathrm{St}=\frac{c_{fx}/2}{\Pr_t+\sqrt{c_{fx}/2}\left(\left(\Pr -{\Pr}_t\right)a+{A}_1\right)}. $$
(29)
Die Größe a, die in Gl. (29) auftritt, hängt von dem Verhältnis Pr/Prt, der Turbulenzstruktur und dem Reibungsbeiwert ab. Tab. 1 gibt einige Werte von a für unterschiedliche Werte von Pr/Prt an [6]. Die Größe A1 in Gl. (29) kann man mittels A1 ≈ 4(1 − Prt) approximieren.
Tab. 1

Abhängigkeit der Größe a von Pr/Prt

Pr/Prt

0,5

0,72

1,44

2,0

5,0

10,0

a

10,22

9,55

8,25

7,66

6,04

5,05

2.3 Die Verwendung von Stoffwerten bei einer Referenztemperatur zur Bestimmung des Wärmeübergangs

Die Nusselt-Zahl, die Stanton-Zahl und der Reibunsgbeiwert für eine kompressible Strömung können aus den Grenzschichtergebnissen der inkompressiblen Strömung bestimmt werden, wenn man die Stoffwerte bei einer Referenztemperatur Tref [5, 7, 15] verwendet. Aufgrund der Untersuchung einer Anzahl von exakten Lösungen der laminaren Grenzschichtgleichungen für konstante Werte von w, T, Tw stellte Eckert [7] fest, dass für konstante Werte der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck die folgende Referenztemperatur in der Lage ist die zur Verfügung stehenden Lösungen für Mach-Zahlen bis zu 20 und einen weiten Bereich von Anström- und Wandtemperaturen mit geringer Abweichung zu korrelieren

$$ {T}_{ref}={T}_{\infty }+0,5\left({T}_w-{T}_{\infty}\right)+0,22\left({T}_{aw}-{T}_{\infty}\right). $$
(30)

Für sehr große Temperaturdifferenzen in der Grenzschicht ist die Annahme eines konstanten Wertes für die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck nicht mehr gerechtfertigt. Hier ist Eckerts Methode der Referenztemperatur jedoch weiterhin anwendbar, wenn man eine Referenzenthalpie in Gl. (30) benutzt. Dies führt zu

$$ {h}_{ref}={h}_{\infty }+0,5\left({h}_w-{h}_{\infty}\right)+0,22\left({h}_{aw}-{h}_{\infty}\right). $$
(31)

In diesem Fall muss natürlich die Wärmestromdichte an der Wand auch mithilfe einer Enthalpiedifferenz anstatt einer Temperaturdifferenz, gebildet werden

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{\dot{q}}_w=\widehat{\alpha}\left({h}_{aw}-{h}_w\right),\\ {}\mathrm{St}=\frac{\widehat{\alpha}}{\rho {w}_{\infty }},\end{array}} $$
(32)
wobei wieder alle Stoffwerte bei der Referenzbedingung nach Gl. (31) bestimmt werden.

Ein anderes Konzept zur Bestimmung der Referenzgrößen wurde von Herwig [16] vorgeschlagen. Er bestimmte die Referenztemperatur aus einer asymptotischen Theorie für Strömungen bei konstantem Druck (z. B. ebene Platte) mit temperaturabhängigen Stoffwerten. Der Leser sei auf die Arbeit [16] für weitere Einzelheiten verwiesen. Weiterhin gibt es eine ganze Reihe von empirischen Gleichungen zur Bestimmung von Referenztemperaturen, siehe z. B. [12, 17].

2.4 Grenzschichtströmungen mit Druckgradient

Für eine laminare Strömung über eine ebene Platte mit einem aufgeprägten Druckgradienten haben die Dichteänderungen einen großen Einfluss auf die Strömung und auf den Wärmeübergang. Als eine Konsequenz des aufgeprägten Druckgradienten ist die Temperatur am Grenzschichtrand nun allerdings nicht mehr konstant. Ähnlichkeitslösungen können unter einer Anzahl von einschränkenden Bedingungen gefunden werden [5, 6, 15, 18, 19, 20, 21]. Eine dieser Bedingungen ist, dass die Geschwindigkeitsverteilung der reibungsfreien Außenströmung die folgende Gleichung erfüllt

$$ {w}_{x\infty }={C}_1{\tilde{x}}^m. $$
(33)

Hierbei ist \( \tilde{x} \) eine modifizierte Koordinate in Strömungsrichtung, die in Gl. (34) definiert ist.

Für m = 0 erhält man die Strömung über eine ebene Platte ohne Druckgradient. Für m > 0 wird die Strömung beschleunigt, für m < 0 wird die Strömung verzögert. Cohen and Reshotko [22] gaben selbstähnliche Lösungen für die Strömungen für verschiedene Werte von β = 2 m/(1 + m) und unterschiedliche Wandtemperaturen an. Hierbei wurde angenommen, dass Pr = 1 ist und sich die Viskosität durch eine lineare Beziehung nach η/ηr = bT/Tr beschreiben lässt (dies entspricht Gl. (9) mit ω = 1). Abb. 8 zeigt einige Geschwindigkeitsverteilungen in der Grenzschicht für unterschiedliche Werte des Beschleunigungsparameters β und die dazugehörigen Enthalpieprofile. Die Profile sind über der Y-Koordinate aufgetragen. Diese ist definiert durch
Abb. 8

Geschwindigkeits- und Enthalpieprofile für eine laminare kompressible Strömung für verschiedenene Beschleunigungsparameter β [6]

$$ Y=\sqrt{\left(\left(m+1\right)/2\left({U}_{\delta }{v}_0\tilde{x}\right)\left({T}_{\delta }/{T}_0\right)\right)}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\left(\rho /{\rho}_0\right)d\overline{y},{U}_{\delta }={w}_{x\delta}\sqrt{\left({T}_0/{T}_{\delta}\right)},\tilde{x}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{bp}_{\delta }/{p}_0\sqrt{\left({T}_{\delta }/{T}_0\right)}d\overline{x}. $$
(34)

In Abb. 8 wurden die folgenden Größen verwendet

$$ S=\frac{c_pT+{w}_x^2/2}{c_p{T}_0}-1,{f}^{\prime }=\frac{w_x}{w_{x\delta}}. $$
(35)

Aus den analytischen Lösungen der kompressiblen Grenzschichtgleichungen erhält man für den Reibungsbeiwert und für die Stanton-Zahl

$$ {\displaystyle \begin{array}{c}{c}_f=2{\tau}_w/\left({\rho}_w{w}_{x\delta}^2\right)\\ {}={f}_w^{{\prime\prime}}\left[2b\left(1+{S}_w\right)\sqrt{\left(\left(m+1\right)/2\left({v}_{\infty 0}/{U}_{\delta}\tilde{x}\right)\right)}\right],\\ {}{S}_w={T}_w/{T}_0-1,\, {\operatorname{Re}}_w={w}_{x\delta}\tilde{x}/{v}_w,\\ {}\mathrm{St}/{c}_f=\mathrm{Nu}/\left({\operatorname{Re}}_w{c}_f\right)=-{S}_w^{{\prime\prime} }/\left({S}_w2{f}_w^{{\prime\prime}}\right).\end{array}} $$
(36)
Tab. 2 fasst einige Werte für die Temperatur- und Geschwindigkeitsgradienten an der Wand nach Cohen and Reshotko [22] zusammen. Weitere Daten sind in [22] angegeben.
Tab. 2

Geschwindigkeit- und Temperaturgradienten an der Wand für Ähnlichkeitslösungen der kompressiblen Grenzschichtgleichungen mit Druckgradient

S w

β

\( {f}_w^{{\prime\prime} } \)

\( {S}_w^{\prime } \)

c fRe w/ Nu

−1,0

−0,3000

0,3182

0,4262

1,4930

−0,1400

0,4166

0,4554

1,8300

0

0,4696

0,4696

2,0000

0,5

0,5806

0,4948

2,3470

2,0

0,7381

0,5203

2,8370

−0,8

−0,30

0,2086

0,3155

1,0580

−0,14

0,3841

0,3590

1,7120

0

0,4696

0,3757

2,0000

0,5

0,6547

0,4030

2,5990

1,5

0,8689

0,4261

3,2630

2,0

0,9480

0,4331

3,5020

−0,4

−0,20

0,2183

0,1626

1,0740

0

0,4696

0,1878

2,0000

0,50

0,7947

0,209

3,0420

2,0

1,3329

0,2304

4,6280

0

0

0,4696

0

2,000

0,5

0,9277

0

3,436

2,00

1,6870

0

5,565

1,0

−0,1295

0

−0,3388

0

0

0,4696

−0,4696

2,0000

0,50

1,2351

−0,5725

4,3150

2,00

2,4878

−0,6613

7,5270

Eckert [7] gibt eine empirische Gleichung für die Wärmestromdichte an der Wand für eine laminare Strömung mit Druckgradient an. Diese lautet

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{\dot{q}}_{wx}=\left(0,35/{\Pr}^{2/3}\right)\left({\rho}_{ref}{\eta}_{ref}{w}_{x\delta}{r}_0^n{c}_p\left({T}_w-{T}_{aw}\right)/\sqrt{x_{ref}}\right)\\ {}{x}_{ref}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\rho}_{ref}{\eta}_{ref}{w}_{x\delta}{r}_0^{2n}d\overline{x}.\end{array}} $$
(37)

In Gl. (37) kennzeichnet der Index „ref“ dass die Stoffgrößen bei der Referenztemperatur Tref zu bestimmen sind. Die Größe r0 ist der Radius des Körpers (n = 0 steht hierbei für eine ebene Fläche und n = 1 kennzeichnet einen rotationssymmetrischen Körper). Die Stanton-Zahl ergibt sich zu

$$ {\mathrm{St}}_x=\alpha /\left({w}_{x\delta}{\rho}_{ref}{c}_p\right)=0,35\;{\eta}_{ref}{r}_0^n/\sqrt{x_{ref}}. $$
(38)

2.4.1 Staupunkt

Aus den Ähnlichkeitslösungen der Staupunktströmung entwickelten Fay und Riddle [23] eine Korrelation für die Wärmestromdichte. Diese berücksichtigt die Dissoziation und Rekombination. Die Gleichung nach [23] für die Wärmestromdichte (ohne Dissoziation) lautet für den Staupunktbereich

$$ {\dot{q}}_w={Bc}_p{\Pr}^{-0,6}\sqrt{\rho_{\delta }{\eta}_{\delta }}\sqrt{dw_{x\delta}/ dx}\left({T}_{aw}-{T}_w\right). $$
(39)

Hierbei kann die Größe B unterschiedliche Werte annehmen. So ist B = 0,57 für eine zweidimensionale Staulinie auf einem Zylinder und B = 0,763 für einen achsensymmetrischen Staupunkt auf einer Kugel. Der Geschwindigkeitsgradient der Außenströmung ist durch die Druckverteilung wie folgt gegeben

$$ {dw}_{x\delta}/ dx=1/{r}_0\sqrt{2\left({p}_{\delta }-{p}_{\infty}\right)/{\rho}_{\delta }}. $$
(40)

Kombiniert man die Gl. (39, 40), so sieht man, dass die Wärmestromdichte proportional zu \( 1/\sqrt{r_0} \) ist, wobei r0 der Radius des Körpers im Staubereich ist. Aus Gl. (39) kann man die folgende Gleichung für die Stanton-Zahl ableiten

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}\mathrm{St}={\dot{q}}_w/\left[\left({T}_{aw}-{T}_w\right){\rho}_{\delta }{w}_{x\delta}{c}_p\right]=B{\Pr}^{-0,6}\sqrt{{\tilde{w}}_{x\delta}^{\prime }/{\operatorname{Re}}_{2{r}_0}}\\ {}{\tilde{w}}_{x\delta}^{\prime }=\left(2{r}_0/{w}_{x\delta}\right){dw}_{x\delta}/ dx.\end{array}} $$
(41)

Die Stanton-Zahl, die Lees [14] aus der Lösung der Grenzschichtgleichungen für eine laminare Staupunktströmung bestimmte lautet

$$ \mathrm{St}={B}_1{\Pr}^{-2/3}\sqrt{{\tilde{w}}_{x\delta}^{\prime }/{\operatorname{Re}}_{2{r}_0}}. $$
(42)
wobei für einen Zylinder B1 = 0,354 und für eine Kugel B1 = 0,5 zu setzen ist. Man erkennt aus den Gl. (41, 42) dass in der Gleichung von Lee die Stanton-Zahl von der Prandtl-Zahl mit dem Exponenten (−2/3) abhängt, während in der Gleichung nach Fay und Riddle eine Abhängigkeit von (−0,6) auftritt. Vergleicht man die Stanton-Zahl für eine Kugel mit der für einen Zylinder so ergibt sich
$$ \frac{{\mathrm{St}}_{Kugel}}{{\mathrm{St}}_{Zylinder}}\approx \sqrt{2}. $$
(43)
Abb. 9 zeigt die Stanton-Zahl als Funktion der Reynolds-Zahl \( {\operatorname{Re}}_{2{r}_0} \) [14]. Die Messungen, die bei unterschiedlichen Mach-Zahlen durchgeführt wurden, zeigen eine fast lineare Abhängigkeit im doppelt logarithmischen Diagramm. Eckert [7] gibt eine empirische Gleichung für die Stanton-Zahl an, die auf Referenzbedingungen basiert
Abb. 9

Stanton-Zahl als Funktion der Reynolds-Zahl bezogen auf den Nasendurchmesser 2 r0 [14]

$$ \mathrm{St}={B}_2/\left({\Pr}_{ref}^{2/3}\sqrt{{\operatorname{Re}}_{x, ref}}\right). $$
(44)

In Gl. (44) ist B2 = 0,5 für den ebenen Staupunkt und B2 = 0,7 für den achsensymmetrischen Staupunkt zu setzen.

2.4.2 Strömung um einen Kreiszylinder

Abb. 10 zeigt experimentelle Werte der bezogenen Wärmestromdichte um einen Kreiszylinder [14]. Wie in Abb. 10 angegeben, kennzeichnet φ den Winkel. Für φ = 0 ergibt sich \( \dot{q}\left(\varphi =0\right) \), also die Wärmestromdichte im Staupunkt. Die Reynoldszahl Re ist mit dem Durchmesser D des Kreiszylinders und mit dem Strömungszustand vor dem Verdichtungsstoß gebildet. Beckwith and Gallagher [24] geben eine empirische Gleichung für den Verlauf der Stanton-Zahl am Kreiszylinder an. Die Korrelation wurde an experimentelle Daten für den Wärmeübergang am Kreiszylinder angepasst und lautet
Abb. 10

Bezogene Wärmestromdichte für die Wärmeübertragung an einem Kreiszylinder [14]

$$ \frac{\mathrm{St}}{{\mathrm{St}}_S}=0,7{\left(\cos \varphi \right)}^{2/3}+0,3. $$
(45)

In Gl. (45) ist StS die Stanton-Zahl im Staupunkt.

Beispiel 2

Während eines Windkanalversuchs zur Messung des Wärmeübergangs wird ein Kreiszylinder (Durchmesser 1 cm) von Luft mit Ma = 6 angeströmt. Die Luft wird in einer Ruhekammer vor der Düse auf eine Temperatur von 1500 K aufgeheizt und die Zylinderwandtemperatur bei 300 K konstant gehalten. Man berechne die Wärmestromdichte am Staupunkt und an dem Ort φ = 90° des Zylinders.

Lösung

Annahme: Luft ist thermisch ideal und kalorisch perfekt, κ = 1,4; R = 287,1 J kg−1 K−1.

Aus Gl. (2) oder aus der Zustandsgrößen-Tabelle, z. B. [25], folgt für die statische Temperatur T = 182,9 K

Die Referenztemperatur ist durch Gl. (30) gegeben
$$ {T}_{ref}={T}_{\infty }+0,5\left({T}_w-{T}_{\infty}\right)+0,22\left({T}_{aw}-{T}_{\infty}\right). $$
Die adiabate Wandtemperaur erhält man approximativ aus Gl. (13) unter Verwendung von Pr = 0,72 zu
$$ {T}_{aw}={T}_{\infty}\left(1+r\, {\mathrm{Ma}}_{\infty}^2\left(\kappa -1\right)/2\right)=182,9\, \mathrm{K}\, \left(1+\sqrt{0,{726}^2\left(1,4-1\right)/2}\right)=1300,3\, \mathrm{K} $$
Damit erhält man für die Referenztemperatur:
$$ {T}_{ref}=182,9\, \mathrm{K}+0,5\left(300-182,9\right)\mathrm{K}+0,22\left(1300,3-182,9\right)\mathrm{K}=487,3\mathrm{K} $$
Die Stoffwerte bei (487,3 − 273) = 214,3 °C betragen gemäß Kap. „Thermophysikalische Stoffwerte von trockener Luft“
$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{ref}=372,9\cdot {10}^{-7}\, {\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1};{\mathit{\Pr}}_{ref}=0,698;\\ {}{\lambda}_{ref}=39,15\cdot {10}^{-3}\, {\mathrm{Wm}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}.\end{array}} $$
Es gilt
$$ {\displaystyle \begin{array}{ll}{w}_s & =\sqrt{\kappa {RT}_{\infty }}=271,1\, \mathrm{m}\, {\mathrm{s}}^{-1},{w}_{\infty }={w}_s{\mathrm{Ma}}_{\infty}\\ {} & =1626,6\, \mathrm{m}/\mathrm{s}\, \mathrm{und}{\operatorname{Re}}_{\mathrm{ref}}={w}_{\infty }D/{v}_{ref}\\ {} & =1626,6\cdot 0,01/372,9\cdot {10}^7=54,35\cdot {10}^5\end{array}} $$
Die Stanton-Zahl am Staupunkt Sts folgt aus Gl. (44):
$$ \mathrm{St}=0,5/\left({\Pr}_{ref}^{2/3}\sqrt{{\operatorname{Re}}_{x, ref}}\right)=0,5/\left(0,{698}^{2/3}\sqrt{4,36\cdot {10}^5}\right)=0,000961, $$
$$ {\mathrm{Nu}}_{\mathrm{s}}=\mathrm{St}{\operatorname{Re}}_{\mathrm{ref}}{\Pr}_{\mathrm{ref}}=292,8;{\alpha}_s=\mathrm{Nu}\;\lambda /D=1,146\, {\mathrm{kWm}}^{-2}{\mathrm{K}}^{-1}. $$
Weiterhin ist
$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{T}_{aw}={T}_{\infty}\left(1+\sqrt{\Pr_{ref}}\, {\mathrm{Ma}}_{\infty}^2\left(\kappa -1\right)/2\right)\\ {}=182,9\, \mathrm{K}\, \left(1+\sqrt{0,698{6}^2\left(1,4-1\right)/2}\right)=1283,1\, \mathrm{K},\\ {}{\dot{q}}_{\mathrm{s}}=\alpha \left({T}_{\mathrm{aw}}-{T}_{\mathrm{w}}\right)=1126,6\, \mathrm{kW}/{\mathrm{m}}^2.\end{array}} $$
An der Stelle φ = 90° folgt aus Gl. (45)
$$ \dot{q}={\dot{q}}_s\left(0,7\, {\left(\cos \varphi \right)}^{2/3}+0,3\right)={\dot{q}}_s0,3=337,99\, \mathrm{kW}/{\mathrm{m}}^2. $$

2.4.3 Strömung um einen Kegel

Für die Überschallströmung an einem Kegel mit einem anliegenden Verdichtungsstoß liegt eine konische Strömung außerhalb der Grenzschicht vor. Die Grenzschichtgleichungen lassen sich mithilfe der Mangler-Transformation [6] in die für eine Strömung über eine ebene Platte transformieren. Das bedeutet, dass der Reibungsbeiwert und die Stanton-Zahl für die Lösung der ebenen Platte lediglich mit einem Faktor \( \sqrt{3} \) multipliziert werden müssen [7].

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{c}_{f\; Kegel}=\sqrt{3}\, {c}_{f\; Platte},\\ {}{\mathrm{St}}_{Kegel}=\sqrt{3}\, {\mathrm{St}}_{Platte}.\end{array}} $$
(46)

3 Wärmeübergang für interne Strömungen (durchströmte Körper)

Strömung und Wärmeübergang für interne Strömungen in Rohren und Kanälen spielen eine große Rolle in vielen technischen Anwendungen, wie z. B. in Raketenantrieben und in Ram- und Scramjets [26, 27]. Der Wärmeeintrag in die Kanalströmung lässt sich vielfach vereinfachend mittels eines 1D Modells analysieren. Geht man vom ersten Hauptsatz der Thermodynamik für einen stationären Fließprozess aus (siehe Abb. 11), so erhält man unter der Annahme einer konstanten spezifischen Wärmekapazität bei konstanem Druck, cp, für das offene Systm mit einem eintretenden und einem austretenden Massenstrom [3]
Abb. 11

Kanal mit Wärmezufuhr durch die Kanalwand [3]

$$ \dot{M}{c}_p{T}_{02}=\dot{M}{c}_p{T}_{01}+{\dot{Q}}_w,{\dot{Q}}_w=\underset{Oberfl\ddot{a} che}{\int }{\dot{q}}_w dS. $$
(47)

In dieser Gleichung ist \( {\dot{Q}}_w \) der Wärmestrom von der Wand in das Fluid. Diese Größe lässt sich durch Integration der Wärmestromdichte \( {\dot{q}}_w \) über die gesamte Oberfläche, die in Kontakt mit dem Fluid ist, bestimmen. Für ein ideales Gas mit kalorisch perfekten Eigenschaften lassen sich die Bedingungen am Austritt des Kanals mithilfe der folgenden Gleichungen berechnen [25]

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{T}_{01}/{T}_{02}={\mathrm{Ma}}_2^2{\left(1+\kappa {\mathrm{Ma}}_1^2\right)}^2/\left({\mathrm{Ma}}_1^2{\left(1+\kappa {\mathrm{Ma}}_2^2\right)}^2\right)\\ {}{\left(1+\left(\left(\kappa -1\right)/2\right){\mathrm{Ma}}_2^2\right)}^2/{\left(1+\left(\left(\kappa -1\right)/2\right){\mathrm{Ma}}_1^2\right)}^2\\ {}{T}_2/{T}_1={\mathrm{Ma}}_2^2/{\mathrm{Ma}}_1^2{\left(1+\kappa {\mathrm{Ma}}_1^2\right)}^2/{\left(1+\kappa {\mathrm{Ma}}_2^2\right)}^2.\end{array}} $$
(48)

Hierbei können für T01 und T02 die Gl. (2, 3) benutzt werden.

Beispiel 3

Luft strömt durch einen Kanal mit konstantem Querschnitt. Am Eintritt beträgt die Lufttemperatur 273 K, die Mach-Zahl 0,2 und der Druck 1 bar. Der Kanal wird elektrisch mit 1000 kJ pro kg Luft beheizt. Man bestimme die Mach-Zahl, Dichte, Temperatur, Eigentemperatur und den Druck am Austritt.

Lösung

Annahme: Luft ist thermisch ideal und kalorisch perfekt.

Stoffwerte: cp = 1005 J kg−1 K−1, Gaskonstante für Luft R = 287,1 J kg−1 K−1 und κ = 1,4.

Aus Gl. (3) folgt T01 = 273 K (1 + 0,2 · 0,04) = 275,2 K.

Aus Gl. (47) folgt T02 = T01 + q/cp = (275,2 + 106/1005) K = 1270 K.

Aus Gl. (48) folgt Ma2 = 0,58. (Gl. (48) erfordert eine iterative Lösung. Die Lösungen der Gleichungen sind tabellarisch z. B. in [28] zu finden.)

Aus Gl. (3) folgt \( {T}_2={T}_{02}/\left(1+\left(\kappa -1\right){Ma}_2^2/2\right)=1183\, \mathrm{K}. \)

Aus der Massenerhaltung ergibt sich ρ1w1 = ρ2w2.
$$ {\rho}_1{Ma}_1\sqrt{\kappa {RT}_1}={\rho}_2{Ma}_2\sqrt{\kappa {RT}_2};{\rho}_2={\rho}_1{Ma}_1/{Ma}_2\sqrt{T_1/{T}_2} $$

ρ1 = p1/(RT1) = 1,2762 kg m−3; ρ2 = 0,214 kg m−3 < ρ1, d. h. w2 > w1; p2 = 2T2 = 0,718 bar.

Tritt das Fluid in den Kanal mit Unterschall ein, Ma1 < 1, so steigt die Machzahl im Fall einer Wärmezufuhr an, so dass Ma2 > Ma1 wird. Für einen Kanal mit konstantem Querschnitt kann die Mach-Zahl im Fall einer Wärmezufuhr den maximalen Wert Ma2 = 1 am Austritt des Kanals erreichen. Ab diesem Wert wird die Strömung als blockiert bezeichnet (engl. „choked“), da eine weitere Erhöhung der Wärmezufuhr nur instationär durch eine starke Änderung der Eintrittsbedingung möglich ist. Für eine adiabate Strömung erhöht sich die Mach-Zahl am Kanalaustritt infolge der Reibungseffekte im Kanal und der damit bedingten Dissipation in der Strömung. Für eine Strömung durch einen Kanal mit konstanter Wandtemperatur tendiert die Mach-Zahl am Austritt gegen \( 1/\sqrt{\kappa } \) [25].

Tritt die Strömung in den Kanal mit einer Mach-Zahl größer als eins ein, Ma1 > 1, so führt die Wärmezufuhr zu einem Absinken der Mach-Zahl, so dass Ma2 < Ma1.

Gl. (48) setzt eine eindimensionale reibungsfreie, kompressible Strömung mit Wärmezu- bzw. Wäremabfuhr voraus. Für eindimensionale reibungsbehaftete, nicht isotherme Strömungen existieren in der Literatur einige einfache Gleichungen zur Berechnung der Austrittsbedingungen am Kanalende. Shapiro [25, 28] gibt z. B. Differenzialgleichungen zur Berechnung der 1D reibungsbehafteten Strömung mit Wärmezu- bzw. Wärmeabfuhr und Querschnittsänderungen in Strömungsrichtung an. Diese Gleichungen lassen sich nur noch numerisch lösen. Diese Art von Gleichungen ist heutzutage in den meisten kommerziellen Strömungsnetzwerklösern implementiert (z. B. Miller [29]). Für den einfachen Fall eines Rohres mit konstantem Strömungsquerschnitt und unter Annahme der Gültigkeit der Reynolds-Analogie und der Annahme, dass TawT0 ist (was exakt gilt wenn Pr = 1 ist oder die Mach-Zahl verschwindend klein wird) gibt Shapiro [25, 28] die folgenden Gleichungen an

$$ {dT}_0/ dx=2{c}_f\left({T}_w-{T}_0\right)/D, $$
(49)
$$ {\displaystyle \begin{array}{l}d{\mathrm{Ma}}^2/ dx=\left({F}_{T0}/{T}_0\right){dT}_0/ dx+4{F}_f{c}_f/D\\ {}{F}_{T0}={\mathrm{Ma}}^2\left(1+\kappa {\mathrm{Ma}}^2\right)\left[1+\left(\left(\kappa -1\right)/2\right){\mathrm{Ma}}^2\right]/\left(1-{\mathrm{Ma}}^2\right)\\ {}{F}_f=\kappa {\mathrm{Ma}}^4\left[1+\left(\left(\kappa -1\right)/2\right){\mathrm{Ma}}^2\right]/\left(1-{\mathrm{Ma}}^2\right).\end{array}} $$
(50)

Falls die Wandtemperatur Tw = konst. ist, lässt sich Gl. (49) zwischen dem Rohreintritt (x1) und dem Austritt (x2) integrieren. Man erhält

$$ \frac{4{c}_f\left({x}_2-{x}_1\right)}{2D}=\ln \left[\frac{T_w-{T}_{01}}{T_w-{T}_{02}}\right]. $$
(51)

Da Gl. (50) stark nicht linear ist, lässt sich diese Gleichung leider nicht mehr analytisch lösen. Sie muss numerisch integriert werden. In den beiden Büchern von Shapiro [25, 28] findet der Leser eine große Anzahl von berechneten Fällen und viele Approximationslösungen für 1D kompressible Strömungen.

3.1 Rohrströmung

Die Berechnung der Strömung und der Wärmeübertragung in einem Rohr mit kompressibler Strömung bei hohen Strömungsgeschwindigkeiten kann durch die Lösung der Navier-Stokes Gleichungen und der Energiegleichung mit und ohne Grenzschichtapproximationen erfolgen. In der Literatur liegt für die laminare Strömung eine Vielzahl solcher Berechnungen vor. Viele der Fälle können durch die Lösung der Grenzschichtgleichungen mit ausreichender Genauigkeit bestimmt werden. Der Leser sei in diesem Zusammenhang z. B. auf die Bücher von Cebeci and Bradshaw [8] und Kays et al. [5] wegen weiterer Einzelheiten hingewiesen.

Für turbulente Unterschallströmungen im Rohr lässt sich der Reibungsbeiwert wie bei der inkompressiblen Strömung mithilfe der Kármán-Nikuradse-Gleichung bestimmen

$$ 1/\sqrt{4{c}_f}=-0,8+2\log \left(\operatorname{Re}\sqrt{4{c}_f}\right). $$
(52)

Für eine reibungsbehaftete turbulente Unterschallströmung mit Wärmeübergang schlägt Shapiro [28] die folgende Gleichung zur Berechnung des Reibungsbeiwertes im Rohr vor

$$ {c}_f=0,079\, {\operatorname{Re}}^{-0,25}. $$
(53)

Unter der Annahme der Gültigkeit der Reynolds-Analogie kann eine empirische Gleichung zur Bestimmung der Nusselt-Zahl hergeleitet werden, die gut mit Messungen mit Luft für Werte der Reynolds-Zahl bis 105 und Mach-Zahlen zwischen 0 und 1 übereinstimmt [28]:

$$ \mathrm{Nu}=0,0364{\left(\mathrm{RePr}\right)}^{0,75}. $$
(54)

3.2 Lavaldüse

Mit einer Lavaldüse ist es möglich eine Strömung aus dem Unterschall in den Überschall zu beschleunigen (siehe hierzu Abb. 12). In der Lavaldüse ergibt sich eine kompressible Innenströmung, die vielfältige Anwendungen in der Luft- und Raumfahrttechnik hat (z. B. Raketenantriebe). Weiterhin spielt die Strömung in Lavaldüsen eine große Rolle in vielen Überschall- und Hyperschall-Windkanälen. Die Strömung in einer solchen Düse ist dadurch gekennzeichnet, dass die Mach-Zahl den gesamten Bereich zwischen Unterschall und Hyperschall überdecken kann. Die Beschleunigung ist hierbei durch den Druckgradienten in Strömungsrichtung charakterisiert, der vom Eintritt bis zum Düsenhals hin zunimmt und anschließend wieder abnimmt. Der axiale Verlauf des Wärmeübergangskoeffizienten ähnelt dem des axialen Druckgradienten. Abb. 12 zeigt schematisch die Geometrie und typische axiale Verläufe der Mach-Zahl, der Temperatur und des Wärmeübergangskoeffizienten in einer Lavaldüse [3].
Abb. 12

Schematische Darstellung der Mach-Zahl, der Temperatur und des Wärmeübergangskoeffizienten in einer Lavaldüse [3]

Die Strömung und der Wärmeübergang in der Lavaldüse lassen sich durch die Lösung der Navier-Stokes Gleichungen und der Energiegleichung bzw. der Genzschichtgleichungen bestimmen. Wegen der starken Beschleunigung der Kernströmung sollten Wechselwirkungen zwischen Grenzschicht- und Kernströmung berücksichtigt werden. Back [30] analysierte die laminare Strömung in einer Lavaldüse mittels der Methode der lokalen Ähnlichkeit. Carden [31] gibt ein einfaches Verfahren an, um den lokalen Wärmeübergangskoeffizienten zu bestimmen. Für turbulente Strömung in der Lavaldüse gibt Bartz [32] die folgenden empirischen Gleichungen zur Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten an

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}\alpha =\left[\left(0,026/{D}^{\ast 0,2}\right)\left({\eta}_0^{0,2}{c}_p/{\Pr}^{0,6}\right){\left({p}_0/{c}^{\ast}\right)}^{0,8}\right]\\ {}{\left({D}^{\ast }/{r}_e\right)}^{0,1}{\left(A/{A}^{\ast}\right)}^{0,9}\sigma .\end{array}} $$
(55)

In dieser Gleichung ist \( {c}^{\ast }={p}_0{A}^{\ast }/\dot{M} \) die charakteristische Geschwindigkeit, D der engste Durchmesser („throat“) und σ = (ρref/ρδ)0,8(ηref/η0)0,2 berücksichtigt den Einfluss der veränderlichen Stoffwerte. Die Stoffwerte ρref, ηref müssen bei der Referenztemperatur Tref bestimmt werden

$$ {T}_{ref}=0,5\left({T}_0+{T}_w\right)+0,22{\Pr}^{1/3}\left({T}_0-{T}_w\right). $$
(56)

Die Dichte ρδ lässt sich durch eine 1D Betrachtung der isentropen Düsenströmung bestimmen und re ist der Krümmungsradius des Kerndurchmessers („throat“). Bartz [32] gibt weiterhin noch eine modifizierte Gleichung für die Größe σ an

$$ \, \sigma \, =\left\{{\left[\frac{1}{2}\frac{T_w}{T_0}\left(1+{\mathrm{Ma}}^2\left(\kappa -1\right)/2\right)+\frac{1}{2}\right]}^{0,8-\omega /5}\right.\, {\left.\left[1+{\mathrm{Ma}}^2\left(\kappa -1\right)/2\Big){}^{\omega /5}\right]\right\}}^{-1}. $$
(57)

Die lokale Mach-Zahl in Gl. (57) lässt sich wieder aus einer 1D Betrachtung der isentropen Strömung durch die Lavaldüse berechnen. Eine andere Gleichung, die von Back et al. [33] vorgeschlagen wurde, zeigt eine bessere Übereinstimmung mit Messwerten als Gl. (55). Diese Gleichung lautet

$$ \mathrm{St}=\frac{c_f/2}{\sqrt{c_f/2}\left(5\ln \left(5\Pr +1\right)-14+\sqrt{2{c}_f}\right)}. $$
(58)

Hierbei kann der Reibungsbeiwert cf von der ebenen Plattenströmung verwendet werden. Gl. (58) kann noch weiterhin durch die Anwendung einer Methode nach Back et al. [33] verbessert werden. Eine einfache Berechnungsmethode für den Reibungsbeiwert und den Wärmeübergang in Raketendüsen wurde von Mastanaiah [34] vorgeschlegen. Diese Methode basiert auf der Lösung der gekoppelten Bewegungs- und der Energiegleichung mithilfe eines Intergralverfahrens. Die turbulente Strömung wurde hierbei mittels eines Mischungswegansatzes beschrieben. Die numerischen Resultate wurden mit experimentellen Daten für 10°–10° und 30°–15° konvergent-divergenten Düsen verglichen. Weiterhin wurde auch ein Vergleich mit experimentellen Daten für eine N 2H 4-N 2O 4 Raketendüse mit einem halben Öffungswinkel von 15° durchgeführt. Generell zeigt sich eine gute Übereinstimmung zwichen numerischen und experimentellen Daten. Wegen weiterer Einzelheiten zu dem Berechnungsverfahren sei der Leser auf [34] verwiesen.

4 Zusätzliche Effekte

4.1 Strömungsablösung

Durch einen Druckanstieg in Strömungsrichtung oder durch eine plötzliche Änderung in der Geometrie kann eine Strömungsablösung auftreten. Damit kommt es zu Dichteänderungen, die wiederum in Überschall- und Hyperschallströmungen Verdichtungsstöße zur Folge haben können. Typische Beispiele sind die Umströmung von stumpfen Körpers und Kegeln, flache Geometrien mit sprunghaften Geometrieänderungen (z. B. Nut oder Stufe) und konkave Oberflächenelemente. Beim Wiederanlegen der Strömung kommt es zu extrem hohen Wärmeübergängen. Die numerische Berechnung solcher Vorgänge ist sehr kompliziert und stellt noch immer enorme Herausforderungen an die Modellierung. In der Literatur sind zahlreiche experimentelle und numerische Untersuchungen der Strömungsablösung bei schnellen Strömungen zu finden. Eine schöne Zusammenfassung, die auch verschiedene Korrelationen für den Wärmeübergang angibt, wurde von Merzkirch et al. [35] publiziert. Exemplarisch soll hier eine Korrelation für den Wärmeübergang in einer genuteten Platte angegeben werden. Für die turbulente Strömung im Bereich 2,5 · 105 < Re L < 3,5 · 106 gilt für Anström-Mach-Zahlen zwischen 3,5 und 4,5 die folgende Beziehung für die mittlere Stanton-Zahl in der Nut

$$ \mathrm{St}=0,48\, {\operatorname{Re}}_L^{-0,4}{\left(\frac{H}{L}\right)}^{-0,2}. $$
(59)

Hierbei gibt L die Länge der Nut in Strömungsrichtung an und H kennzeichnet die Nuttiefe.

Der Leser sei weiterhin auf die Arbeiten von Holden [36, 37] wegen weiterer Einzelheiten zu dieser Thematik hingewiesen.

4.2 Der Umschlag laminar-turbulent

Alle Gleichungen, die in diesem Abschnitt angegeben wurden, sind nur gültig, wenn die Strömung entweder laminar oder turbulent ist. Allerdings kommt es in vielen Anwendungen vor, dass im interessierenden Bereich ein Umschlag laminar-turbulent auftritt und der Wärmeübergang für den gesamten Bereich benötigt wird. Dieser Effekt kann den Wärmeübergang an der betrachteten Oberfläche deutlich verändern und muss mitberücksichtigt werden. Der Leser sei in diesem Zusammenhang auf die beiden Bücher von White [17] und Hirschel [12] hingewiesen, die gute Zusammenfassungen zu dieser Thematik vorstellen.

4.3 Der Einfluss der Rauigkeit

Oberflächenrauigkeit erhöht für eine turbulente Strömung den Reibungsbeiwert und meist in etwas geringerem Maße den Wärmeübergang. Die Rauigkeit kann weiterhin das Transitionsverhalten der Strömung deutlich verändern. Der Leser sei in diesem Zusammenhang auf Schlichting [6] und Schneider [38] hinsichtlich einer Literaturübersicht verwiesen.

5 Formelzeichen

A, b

Konstanten

A

m2

Fläche

A* = π D*2/4

m2

Querschnittsfläche des Düsenhalses

\( {c}^{\ast }={p}_0{A}^{\ast}\dot{M} \)

ms−1

Charakteristische Geschwindigkeit

D

M

Durchmesser

D *

M

Durchmesser des Düsenhalses

ƒ

Dimensionslose Stromfunktion

K

Parameter, Gl. (19)

r

Recovery-Faktor, Gl. (4)

r 0

m

Radius

S

Dimensionslose Enthalpiefunktion, Gl. (35)

T

K

Temperatur

T 0

K

Eigentemperatur, Stautemperatur

T aw

K

Adiabate Wandtemperatur

w s

ms−1

Schallgeschwindigkeit, Gl. (1)

w

ms−1

Geschwindigkeit

δ

m

Grenzschichtdicke

δ 1

m

Verdrängungsdicke

ω

Exponent des Viskositätsgesetzes

Indizes

δ

Grenzschichtrand

Anströmbedingungen

0

Stagnations- bzw. Ruhekammerzustand

aw

Adiabate Wand

w

Bedingungen an der Wand

ref

Referenzzustand

Dimensionslose Kenngrößen

C

Chapman-Rubesin Parameter, = ρη/(ρδ ηδ)

Ma

Mach-Zahl, = w/ ws

Pr

Prandtl-Zahl, = ηcp/λ

Rex

Reynolds-Zahl, = w x/v

Ec

Eckert-Zahl, \( ={w}_{\infty}^2/\left(2{c}_p{T}_{\infty}\right)=\left[\left(\kappa -1\right)/2\right]{Ma}_{\infty}^2 \)

Nux

Nusselt-Zahl, = αx/λ

c f

Reibungsbeiwert

St

Stanton-Zahl, = Nu/(Re Pr) = α/(ρ w cp)

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Copyright information

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für Thermodynamik der Luft- und RaumfahrtUniversität StuttgartStuttgartDeutschland
  2. 2.BochumDeutschland

Section editors and affiliations

  • Dieter Mewes
    • 1
  1. 1.Leibniz Universität HannoverHannoverDeutschland

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