Zusammenfassung
Während es mit „Beweisen“ einen Begriff für deduktive Argumentationen in der Mathematik gibt, fehlt ein konsentierter Begriff für die Entwicklung und Bewertung von Gründen, die zur Annahme oder Ablehnung von Axiomen und Definitionen führen. Wir schlagen hierfür „Rechtfertigen“ vor. Beide Begriffe; „Beweisen“ und „Rechtfertigen“, können innerhalb einer Rahmentheorie trennscharf benutzt werden, weil Axiome/Definitionen nicht bewiesen werden und es für ein Theorem nicht ausreicht, „nur“ gerechtfertigt zu werden. Prozesse der Rechtfertigung sind ein wesentliches Element mathematischer Praxis und Argumentation, ohne die das Beweisen und die Bedeutung von Axiomen nicht verstanden werden können. Die Fragestellung der Arbeit wird zunächst anhand einer Äußerung von Felix Klein näher entwickelt. Dann diskutieren wir die komplementäre Beziehung von Rechtfertigen und Beweisen, geben zwei historische Beispiele und erörtern (im Online-Supplement) anhand zweier Beispiele, in welcher Weise „Rechtfertigen“ im Mathematikunterricht der allgemeinbildenden Schule eine Rolle spielen könnte und sollte.
Abstract
While we have the term “proving” for “deductive reasoning in mathematics”, there is no consented term for the devising and evaluation of reasons leading to the acceptance or rejection of axioms and definitions. We suggest to speak about “justifying” in this case. The terms “proving” and “justifying” can be used in a mutually exclusive way in a given theoretical framework, because axioms or definitions are not proved, and for a theorem it is not sufficient “only” to be justified. Processes of justification are an essential element of mathematical practice and reasoning without which the activity of proving and the role of axioms cannot be understood. To state more precisely the problem treated in the present paper, we start from a statement by Felix Klein. We then discuss the complementary relation of justifying and proving and give two historical examples. In the online supplementary material, the question of how “justifying” could and should play a role in mathematics education in secondary school is discussed along two examples.
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Notes
Wir weisen darauf hin, dass die Unterscheidung von Axiom und Theorem grundsätzlich „theorierelativ“ ist: was in der einen Darstellung ein Axiom ist, kann in der anderen ein Theorem sein und umgekehrt. Siehe auch Abschn. 2.
Der Begriff „komplementär“ wird im Folgenden im Sinne von „ergänzend“ verwendet und nicht zur Bezeichnung eines Gegenteils.
C. S. Peirce hat mit dem Begriff der Abduktion eine Schlussweise bezeichnet, bei der man von den Konsequenzen auf die Voraussetzungen „schließt“. Auch hierbei geht es um einen (manchmal unbewussten) Auswahl- und Bewertungsprozess. Wie Meyer (2007) zeigt, stellen viele Argumentationen im Mathematikunterricht Abduktionen dar.
Innerhalb des griechischen Wissensstandes könnte noch eine weitere extrinsische Rechtfertigung des Axioms gegeben werden. Für die wichtige Aussage, dass (modern formuliert) √2 irrational ist, stehen zwei verschiedene Beweise zur Verfügung, einmal der arithmetische (Eukl. El. X,115a), zum anderen die Methode der Wechselwegnahme angewandt auf Diagonale und Seite des Quadrats. Nur in den zweiten Beweis geht das archimedische Axiom ein (in Gestalt des „Wegnahmesatzes“ Eukl. El. X,1), so dass also mit Hilfe des Axioms eine Aussage bewiesen werden kann, für die es auch noch einen davon unabhängigen Beweis gibt. Dies ist eine extrinsische Rechtfertigung vom Typ „providing new proofs of old theorems“ (Maddy 1988b, S. 758); vgl. Abschn. 2.
Eine detaillierte Behandlung dieses Konstruierbarkeitsbegriffs würde bei weitem den Rahmen dieses Aufsatzes sprengen. (Vgl. z. B. Jech 2003, S. 175).
Für näheres zur Kategorientheorie vgl. z. B. Pumplün (1999).
Kürzlich hat Michael Ernst einen Beweis dafür vorgelegt, dass die „unlimited category theory“ widersprüchlich ist, und damit eine negative Lösung des angesprochenen mathematischen Problems (Ernst 2015). Auf diese technisch sehr komplizierte Entwicklung können wir hier nicht eingehen, zumal ein abschließendes Urteil der Fachwelt über die Stichhaltigkeit von Ernsts Beweis derzeit noch auszustehen scheint. In jedem Fall würde diese Entwicklung nicht etwa die Position der Rechtfertigung als mathematischer Tätigkeit schwächen, sondern diese unterstreichen, denn Rechtfertigung erweist sich ja gerade da als notwendig, wo ein zugehöriges mathematisches Problem nicht gelöst ist.
Literatur
Verwendete Literatur
Archimedes (1967). Werke (2. Aufl.). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von A. Czwalina
Arzarello, F. (2007). The proof in the 20th century: from Hilbert to automatic theorem proving. In P. Boero (Hrsg.), Theorems in school: from history, epistemology and cognition to classroom practice (S. 43–64). Rotterdam: Sense publisher.
Bartolini Bussi, M. G., Boero, P., Ferri, F., Garuti, R., & Alessandra, M. M. (2007). Approaching and developing the culture of geometry theorems in school: a theoretical framework. In P. Boero (Hrsg.), Theorems in school: from history, epistemology and cognition to classroom practice (S. 211–217). Rotterdam: Sense publisher.
Blum, W., & Leiß, D. (2007). How do students and teachers deal with modelling problems? In C. Haines, W. Blum, P. Galbraith & S. Khan (Hrsg.), Mathematical modelling (ICTMA 12): Education, engineering and economics (S. 222–231). Chichester: Horwood.
Boero, P., Garuti, R., & Lemut, E. (2007). Approaching Theorems in grade VIII: some mental processes underlying producing and proving conjectures and condition suitable to enhance them. In P. Boero (Hrsg.), Theorems in school: from history, epistemology and cognition to classroom practice (S. 249–264). Rotterdam: Sense Publisher.
Brockhaus (Hrsg.). (2006). Brockhaus Enzyklopädie (21. Aufl.). Bd. 8. Leipzig Mannheim: F. A. Brockhaus.
Brunner, E. (2014). Mathematisches Argumentieren, Begründen und Beweisen. Grundlagen, Befunde und Konzepte. Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum.
Cabassut, R., Connor, A., Furinghetti, F., Iscimen, A. F., Jahnke, H. N., & Morsella, F. (2012). Conceptions of proof—in research and teaching. In G. Hanna & M. de Villiers (Hrsg.), Proof and proving in mathematics education. The 19th ICMI study (S. 169–190). Dordrecht: Springer.
Corry, L. (2004). David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898–1918): From Grundlagen der Geometrie to Grundlagen der Physik. Dordrecht: Kluwer.
Dawkins, P. C. (2014). When proofs reflect more on assumptions than on conclusions. For the Learning of Mathematics, 34(2), 17–23.
Detel, W. (Hrsg.). (2011a). Aristoteles. Zweite Analytik. Hamburg: Felix Meiner. Griechischer Text nach W. D. Ross. Neu übersetzt, mit einer Einleitung und Anmerkungen
Detel, W. (2011b). Einleitung. In W. Detel (Hrsg.), Aristoteles. Zweite Analytik (S. xi–xcvi). Hamburg: Felix Meiner.
Ernst, M. (2015). The prospects of unlimited category theory: doing what remains to be done. The Review of symbolic logic, 8, 306–327.
Feferman, S. (1977). Categorical foundations and foundations of category theory. In R. E. Butts & J. Hintikka (Hrsg.), Logic, foundations of mathematics and computability theory (S. 149–169). Dordrecht: Reidel.
Feferman, S. (2013). Foundations of unlimited category theory: what remains to be done. The Review of Symbolic Logic, 6, 6–15.
Fischer, R., & Malle, G. (2004). Mensch und Mathematik. Eine Einführung in didaktisches Denken und Handeln (2. Aufl.). München: Profil-Verlag.
Freudenthal, H. (1973). Mathematik als pädagogische Aufgabe. Bd. 1. Stuttgart: Klett.
v. Fritz, K. (1955). Die ARCHAI in der griechischen Mathematik. Archiv für Begriffsgeschichte, 1, 13–103.
Gödel, K. (1940). The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory. Princeton: Princeton University Press.
Hanna, G., & Jahnke, H. N. (2007). Proving and modelling. In W. Blum, P. L. Galbraith, H.-W. Henn & M. Niss (Hrsg.), Applications and modelling in mathematics education, the 14th ICMI study (S. 145–152). New York: Springer.
Hanna, G., de Villiers, M., Arzarello, F., Dreyfus, T., Durand-Guerrier, V., & Jahnke, H. N. (2012). ICMI study 19: proof and proving in mathematics education: discussion document. In G. Hanna & M. de Villiers (Hrsg.), Proof and proving in mathematics education. The 19th ICMI Study (S. 443–452). Dordrecht: Springer.
Harel, G. (2018a). The learning and teaching of linear algebra through the lenses of intellectual need and epistemological justification and their constituents. In S. Stewart, C. Andrews-Larson, A. Berman & M. Zandieh (Hrsg.), Challenges and strategies in teaching linear algebra. Cham: Springer.
Harel, G. (2018b). Types of epistemological justifications, with particular reference to complex numbers. In A. Stylianides & G. Harel (Hrsg.), Advances in mathematics education research on proof and proving. Cham: Springer.
Hilbert, D. (1918). Axiomatisches Denken. Mathematische Annalen, 78, 405–415.
Hilbert, D. (1926). Über das Unendliche. Mathematische Annalen, 95, 161–190.
Hilbert, D. (1930). Naturerkennen und Logik. Naturwissenschaften, 18(47), 959–963.
Hilbert, D. (1919-20/1992). Natur und mathematisches Erkennen (Vorlesung aus dem Wintersemester 1919/20), hrsg. und mit einer Einleitung versehen von D. E. Rowe. Basel: Birkhäuser.
Hock, T. (2018). Axiomatisches Denken und Arbeiten im Mathematikunterricht. Dissertationsschrift. Aachen: RWTH Aachen.
Hock, T., Heitzer, J., & Schwank, I. (2016). Axiomatisches Denken und Arbeiten im Mathematikunterricht. Journal für Mathematik-Didaktik, 37(1), 181–208.
Höffe, O. (1990). Einführung in die Wissenschaftstheorie der Zweiten Analytik. In O. Höffe (Hrsg.), Aristoteles. Lehre vom Beweis oder zweite Analytik. Übersetzt und mit Anmerkungen versehen von Eugen Rolfes. Mit neuer Einleitung und Bibliographie von Otfried Höffe. Hamburg: Felix Meiner.
Isbell, J. (1966). Structure of categories. Bull. Amer. Math. Soc., 72, 619–655.
Jahnke, H. N. (2009a). Hypothesen und ihre Konsequenzen. Ein anderer Blick auf die Winkelsummensätze. Praxis der Mathematik für die Schule, 51(30), 26–30.
Jahnke, H. N. (2009b). The conjoint origin of proof and theoretical physics. In G. Hanna, H. N. Jahnke & H. Pulte (Hrsg.), Explanation and proof in mathematics. Philosophical and educational perspectives (S. 17–32). New York: Springer.
Jahnke, H. N., & Ufer, S. (2015). Argumentieren und Beweisen. In R. Bruder, L. Hefendehl-Hebeker, B. Schmidt-Thieme, & H.-G. Weigand (Hrsg.), Handbuch der Mathematikdidaktik (S. 331–355). Berlin, Heidelberg: Springer.
Jahnke, H. N., & Wambach, R. (2013). Understanding what a proof is: a classroom-based approach. ZDM—The International Journal on Mathematics Education, 45(3), 469–482.
Jech, T. (2003). Set theory. The Third Millenium edition, revised and expanded. Berlin, Heidelberg: Springer.
Klein, F. (1911). Einleitung in die Differential- und Integralrechnung. Göttingen: SUB. Vorlesung im Sommersemester 1911, Nachlass Felix Klein, Cod. Ms. F. Klein 21 E
Kobiela, M., & Lehrer, R. (2015). The codevelopment of mathematical concepts and the practice of defining. Journal for Research in Mathematics Education, 46(4), 423–454.
Kratz, J. (1973). Geometrie in einer Lückenebene. Didaktik der Mathematik, 3, 174–186.
Krömer, R. (2007). Tool and object. A history and philosophy of category theory. Basel: Birkhäuser.
Lakatos, I. (1976). Proofs and refutations. The logic of mathematical discovery. Cambridge: Cambridge University Press.
Lawvere, F. W. (1966). The category of categories as a foundation of mathematics. In S. Eilenberg (Hrsg.), Proceedings of the Conference on Categorical Algebra (La Jolla, Calif., 1965) (S. 1–21). New York: Springer.
Maddy, P. (1988a). Believing the axioms I. Journal for Symbolic Logic, 53(2), 481–511.
Maddy, P. (1988b). Believing the axioms II. Journal for Symbolic Logic, 53(3), 736–764.
Maddy, P. (2011). Defending the axioms. On the philosophical foundations of set theory. Oxford: Oxford University Press.
Meyer, M. (2007), Entdecken und Begründen im Mathematikunterricht — Zur Rolle der Abduktion und des Arguments. Journal für Mathematik-Didaktik 28(3/4):286–310.
Moore, G. H. (1982). Zermelo’s axiom of choice. Berlin: Springer.
Ortlieb, C.-P. (2004). Mathematische Modelle und Naturerkenntnis. mathematica didactica, 27(1), 23–40.
Ouvrier-Buffet, C. (2006). Exploring mathematical definition construction processes. Educational Studies in Mathematics, 63, 259–282.
Ouvrier-Buffet, C. (2011). A mathematical experience involving defining processes: in-action definitions and zero-definitions. Educational Studies in Mathematics, 76(2), 165–182.
Pumplün, D. (1999). Elemente der Kategorientheorie. Heidelberg, Berlin: Spektrum akademischer Verlag.
De Risi, V. (2016). The development of Euclidean axiomatics. Archive for History of Exact Sciences, 70(6), 591–676.
Schmitz, M. (1997). Euklids Geometrie und ihre mathematiktheoretische Grundlegung in der neuplatonischen Philosophie des Proklos. Würzburg: Königshausen & Neumann.
Schneider, I. (2016). Archimedes. Ingenieur, Naturwissenschaftler, Mathematiker (2. Aufl.). Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum.
Steck, M. (Hrsg.). (1945). Proklus Diadochus. Kommentar zum ersten Buch von Euklids „Elementen“. Halle: Deutsche Akademie der Naturforscher. Aus dem Griechischen ins Deutsche übertragen und mit textkritischen Anmerkungen versehen von P. Leander Schönberger
Stegmüller, W. (1969). Metaphysik, Skepsis, Wissenschaft (2. Aufl.). Berlin: Springer.
Steiner, H.-G. (1966). Mathematisierung und Axiomatisierung einer politischen Struktur. Ein Beispiel zur axiomatischen Methode im mathematischen Unterricht. Der Mathematikunterricht, 12(3), 66–86.
Szabó, Á. (1960). Anfänge des Euklidischen Axiomensystems. Archive for History of Exact Sciences, 1(1), 38–106.
Weber, K. (2002). Beyond proving and explaining: proofs that justify the use of definitions and axiomatic structures and proofs that illustrate technique. For the Learning of Mathematics, 22(3), 14–17.
Weber, K. (2014). Justification and proof in mathematics and mathematics education. In M. N. Fried & T. Dreyfus (Hrsg.), Mathematics & mathematics education: searching for common ground (S. 237–245). Dordrecht: Springer.
Zandieh, M., & Rasmussen, C. (2010). Defining as a mathematical activity: a framework for characterizing progress from informal to more formal ways of reasoning. The Journal of Mathematical Behavior, 29(2), 57–75.
Zermelo, E. (1908). Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung. Mathematische Annalen, 65, 107–128.
Weiterführende Literatur
Aubel, M. (2008). Algorismus. Ein Mathematiker im Zeitalter des Humanismus und der Reformation, Bd. 72. Augsburg: Dr. Erwin Rauner Verlag.
Bauer, L. (2011). Mathematik, Intuition, Formalisierung: eine Untersuchung von Schülerinnen- und Schülervorstellungen zu 0,\(\overline{9}\). Journal für Mathematik-Didaktik, 32(1), 79–102.
Bauer, L., et al. (2005). Mentale Repräsentation von Irrationalzahlen – eine Analyse von Schülerinnenaufsätzen. Journal für Mathematik-Didaktik, 26(1), 3–27.
Bedürftig, T. (2018). Über die Grundproblematik der Grenzwerte. Mathematische Semesterberichte, 65(2), 277–298.
Boero, P. (2007). Theorems in school: from history, epistemology and cognition to classroom practice. Rotterdam: Sense Publ.
Danckwerts, R., & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. München: Spektrum Akademischer Verlag.
Ehrlich, P. (2006). The rise of non-archimedean mathematics and the roots of a misconception I: the emergence of non-archimedean systems of magnitudes. Archive for History of Exact Sciences, 60(1), 1–121.
Einstein, A. (1921). Geometrie und Erfahrung. Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften (1. Halbband). (S. 123–130).
Hausdorff, F. (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit & Co.
Hefendehl-Hebeker, L. (1989). Die negativen Zahlen zwischen anschaulicher Deutung und gedanklicher Konstruktion. Geistige Hindernisse in ihrer Geschichte. Mathematik lehren, 35, 6–12.
Hefendehl-Hebeker, L., & Schwank, I. (2015). Arithmetik: Leitidee Zahl. In R. Bruder, L. Hefendehl-Hebeker, B. Schmidt-Thieme & H. G. Weigand (Hrsg.), Handbuch der Mathematikdidaktik (S. 77–115). Berlin, Heidelberg: Springer Spektrum.
Jahnke, H. N. (2003). Numeri absurdi infra nihil. Die negativen Zahlen. mathematik lehren, 121, 21–22; 36–40.
Jörgens, T., et al. (2008). Lambacher Schweizer 8, Mathematik für Gymnasien, Nordrhein-Westfalen (1. Aufl.). Stuttgart: Klett.
Jörgens, T., et al. (2009a). Lambacher Schweizer 5, Mathematik für Gymnasien, Nordrhein-Westfalen (1. Aufl.). Stuttgart: Klett.
Jörgens, T., et al. (2009b). Lambacher Schweizer 6, Mathematik für Gymnasien, Nordrhein-Westfalen (1. Aufl.). Stuttgart: Klett.
Klein, F. (1925). Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus II: Geometrie (3. Aufl.). Berlin: Springer.
Klein, F. (1928). Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus III: Präzisions- und Approximationsmathematik (3. Aufl.). Berlin: Springer.
Kuhlemann, K. (2016). Nichtstandard in der elementaren Analysis – Kröte oder Froschkönig? Siegener Beiträge zur Geschichte und Philosophie der Mathematik, 7, 1–27.
Malle, G. (1989). Die Entstehung negativer Zahlen als eigene Denkgegenstände. mathematik lehren, 35, 14–17.
Meyer, M. (2006). Entdecken und Begründen im Mathematikunterricht. Von der Abduktion zum Argument. Hildesheim: Franzbecker.
Müller-Hill, E., & Wille, A. (2018). Negotiating mathematical meaning with oneself—snapshots from imaginary dialogues on recurring decimals. In E. Norén, H. Palmér & A. Cooke (Hrsg.), Nordic Research in Mathematics Education. Papers of NORMA 17. Göteborg: SMDF.
Schmid, A., & Weidig, I. (1998). Lambacher Schweizer 7, Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium Ausgabe Nordrhein-Westfalen (1. Aufl.). Stuttgart: Klett.
Tall, D. O. (1977a). Cognitive conflict and the learning of mathematics, paper presented to the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Utrecht: Holland.
Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151–169.
Tropfke, J. (1980). Geschichte der Elementarmathematik, Bd. 1, Arithmetik und Algebra (4. Aufl.). Berlin, New York: De Gruyter.
Walcher, S., & Wittmann, E. C. (2012). „Minus mal minus“. Zum Fundament der COACTIV-Studie. Mathematisch-naturwissenschaftlicher Unterricht, 65(6), 371–377.
Wille, A. (2017). „Und irgendwann im Unendlichen triffst du die 1“ – Studierendenvorstellungen zu 0,\(\overline{9}\). In U. Kortenkamp & A. Kuzle (Hrsg.), Beiträge zum Mathematikunterricht 2017 (S. 1033–1036). Münster: WTM.
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Skizze zweier Unterrichtsbeispiele zum Aufsatz „Rechtfertigen in der Mathematik und im Mathematikunterricht“ von Hans Niels Jahnke und Ralf Krömer
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Jahnke, H.N., Krömer, R. Rechtfertigen in der Mathematik und im Mathematikunterricht. J Math Didakt 41, 459–484 (2020). https://doi.org/10.1007/s13138-019-00157-9
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