Zur Verteilung der Abschlusskosten in deutschen Lebensversicherungen

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird dargelegt, dass eine Verteilung der rechnungsmäßigen Abschlusskosten auf die ersten N Jahre der Dauer einer klassischen deutschen Lebens- bzw. Rentenversicherung zu einer nicht negativen gezillmerten Deckungsrückstellung nach einem Jahr führt, falls $N\,{=}\,5$ ist (und die Rückstellung bei Null beginnt). Für gewöhnliche Kombinationen von Beginnalter und Versicherungsdauer ist dafür bereits $N\,{=}\,3$ ausreichend. Damit ist die in Deutschland durch die Reform des Versicherungsvertragsgesetzes (VVG) vorgeschriebene Abschlusskostentilgung in den ersten 5 Vertragsjahren vereinbar mit der Forderung nach positiven Rückstellungsbeträgen und somit positiven Rückkaufswerten schon ab Beginn des Vertrages. Eine Rekursionsformel für die gezillmerte Deckungsrückstellung mit auf N Jahre verteilten Abschlusskosten wird bewiesen.

Abstract

It will be shown that an amortization spread of the acquisition costs to the first N years of a classical german life insurance policy or lifelong annuity always leads to a non negative technical provision at the end of the first year if $N\,{=}\,5$ (and the technical provision starting with zero). For usual combinations of the age at entry and the policy duration even $N\,{=}\,3$ is sufficient for this purpose. The legal specification given by the new version of VVG in Germany concerning surrender value (i.e. positive value even in case of early lapse) is therefore consistent with the requirement of a amortization spread to 5 years. Additionally a recursion formula for the technical provision with N years spreaded acquisition costs is proven.

Appendices

Anhang

Beweis der Rekursionsformel

Die Rekursionsformel für die Deckungsrückstellung lautet (mit $V_0 \,{=}\, 0$)

$$ \begin{aligned} p_{x+m}\cdot v_{m+1}= &\,\frac{1}{v}\cdot (P^{\rm{Z}}+V_m)-p_{x+m}\cdot E_{m+1}-q_{x+m}\cdot T_{m+1}\\ &-A_{m+1}\cdot\left(q_{x+m}\cdot\frac{1-v^{N-m}}{1-v}+p_{x+m} \right) \end{aligned} $$

Für den Beweis gelten die Notationen des Haupttextes. Für die Definitionen der verwendeten versicherungsmathematischen Symbole siehe etwa Wolfsdorf (1997).

Ausgangspunkt des Beweises ist die prospektive Darstellung der Deckungsrückstellung (s. Abschn. 2.3.). Zum Zeitpunkt m mit $0\,{\le}\, m \,{\le}\, n$ gilt per Definition (beachte, dass hier immer $n \,{=}\, t$)

$$ V_m={\rm{LBW}}_m(\{E_k\},\{T_k\})+A_m\cdot v\cdot\frac{1-v^{N-m}}{1-v}-P^{\rm{Z}}\cdot {\mbox{\"{a}}}_{x+m,\overline{t-m}|} $$

Hierbei ist ${\rm{LBW}}_m(\{E_k\},\{T_k\})$ der Barwert der zum Zeitpunkt m künftigen erwarteten versicherungstechnischen Leistungen, die durch $\{E_k\}$ und $\{T_k\}$ vorgegeben sind.

Da die laufenden Kosten direkt mit der Beitragszahlung beglichen werden, kommen sie hier nicht als Leistung des Versicherers vor. Somit ist auch der Zillmerbeitrag P ^Z als eingehende Prämie anzusetzen.

Der Nettobeitrag B (also die Prämie für das reine versicherungstechnische Risiko) berechnet sich gemäß

$$ B\cdot {\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}={\rm{LBW}}_0(\{E_k\},\{T_k\}) $$

und steht somit vermöge

$$ P^{\rm{Z}}=B+\frac{{{A}}^{\rm{r}}_N\cdot v\cdot \frac{1-v^N}{1-v}}{{\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}} $$

mit dem Zillmerbeitrag P ^Z in Verbindung. Für die Netto-Deckungsrückstellung

$$ U_m:={\rm{LBW}}_m(\{E_k\},\{T_k\})-B\cdot{\mbox{\"{a}}}_{x+m,\overline{t-m}|} $$

ist die Rekursion

$$ \frac{1}{v}\cdot(U_m+B)=p_{x+m}\cdot (U_{m+1}+E_{m+1})+q_{x+m}\cdot T_{m+1} $$

bekannt (siehe Wolfsdorf (1997), Kapitel 4.2). Es gilt zudem

$$ V_m=U_m+\frac{v}{1-v}\cdot \left[A_m\cdot \left(1-v^{N-m}\right)-A^{\rm{r}}_N\cdot \left(1-v^N\right) \cdot\frac{{\mbox{\"{a}}}_{x+m,\overline{t-m}|}}{{\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}}\right] $$

Wir berechnen zunächst $V_m + P^{\rm{Z}}$:

$$ \begin{aligned} &V_m+P^{\rm{Z}}=\\ & (U_m+B)+v\cdot \underset{X}{\underbrace{\left[A_m\cdot \frac{1-v^{N-m}}{1-v}-A^{\rm{r}}_N\cdot \frac{1-v^N}{1-v} \cdot\frac{{\mbox{\"{a}}}_{x+m,\overline{t-m}|}}{{\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}}+ A^{\rm{r}}_N\cdot\frac{1-v^N}{1-v}\cdot\frac{1}{{\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}}\right]}}\\ &=v\cdot p_{x+m}\cdot (U_{m+1}+E_{m+1})+v\cdot q_{x+m}\cdot T_{m+1}+v\cdot X \end{aligned} $$

Für die letzte Gleichheit wurde die Rekursionsformel für U _m verwendet.

Die rechte Seite der Rekursionsformel entspricht damit dem Ausdruck

$$ \begin{aligned} &p_{x+m}\cdot U_{m+1}+X-A_{m+1}\cdot \left(q_{x+m}\cdot \frac{1-v^{N-m}}{1-v}+p_{x+m}\right)=p_{x+m}\cdot V_{m+1}\\ &-p_{x+m}\cdot \frac{v}{1-v}\cdot \left[A_{m+1}\cdot\left(1-v^{N-m-1}\right)-A^{\rm{r}}_N\cdot \left(1-v^N\right)\cdot\frac{{\mbox{\"{a}}}_{x+m+1,\overline{t-m-1}|}}{{\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}}\right]\\ &+X-A_{m+1}\cdot\left(q_{x+m}\cdot \frac{1-v^{N-m}}{1-v}+p_{x+m}\right) \end{aligned} $$

Der Term $p_{x+m} \cdot V_{m+1}$ hebt sich auf beiden Seiten der Rekursionsformel weg, daher reicht es zu zeigen, dass

$$ \begin{aligned} &0=A_{m+1}\cdot\left(q_{x+m}\cdot \frac{1-v^{N-m}}{1-v}+p_{x+m}\right)\\ &- \left[A_{m}\cdot\frac{1-v^{N-m}}{1-v} -A^{\rm{r}}_N \cdot \frac{1-v^N}{1-v} \cdot \frac{{\mbox{\"{a}}}_{x+m,\overline{t-m}|}}{{\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}} +A^{\rm{r}}_N \cdot \frac{1-v^N}{1-v} \cdot \frac{1}{{\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}}\right]\\ &+p_{x+m}\cdot\frac{v}{1-v}\cdot \left[ A_{m+1}\cdot\left(1-v^{N-m-1}\right) -A^{\rm{r}}_N\cdot\left(1-v^N\right)\cdot \frac{{\mbox{\"{a}}}_{x+m+1,\overline{t-m-1}|}}{{\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}} \right] \end{aligned} $$

Mit $A_m=A^{\rm{r}}_N\cdot 1_{1\le m\le N}$ und Division durch $A^{\rm{r}}_N$ sowie Multiplikation mit $1-v$ fassen wir die Summanden der rechten Seite wie folgt zusammen:

$$ \begin{aligned} &\left(1-v^{N-m}\right)\cdot 1_{1\le m\le N} -q_{x+m}\cdot\left(1-v^{N-m}\right)\cdot 1_{1\le m+1\le N}\\ &-v\cdot p_{x+m}\cdot \left(1-v^{N-m-1}\right)\cdot 1_{1\le m+1 \le N} -(1-v)\cdot p_{x+m}\cdot 1_{1\le m+1 \le N}\\ &+\frac{\left(1-v^N\right)}{{\mbox{\"{a}}}_{x,\overline{t}|}}\cdot \underset{Y}{\underbrace{ \left[v\cdot p_{x+m}\cdot {\mbox{\"{a}}}_{x+m+1,\overline{t-m-1}|}+1-{\mbox{\"{a}}}_{x+m,\overline{t-m}|}\right] }} \end{aligned} $$

Betrachten wir die ersten vier Summanden. Für $m \,{\ge}\,N$ sind offensichtlich alle Null. Für $m < N$ erhält man

$$ \begin{aligned} &\left(1-v^{N-m}\right) -q_{x+m}\cdot\left(1-v^{N-m}\right) -v\cdot p_{x+m}\cdot \left(1-v^{N-m-1}\right) -(1-v)\cdot p_{x+m}\\ &=p_{x+m}\cdot \left[\left(1-v^{N-m}\right)-v\cdot \left(1-v^{N-m-1}\right)-(1-v)\right]=0\,. \end{aligned} $$

Weiterhin gilt laut Definition des Barwertes ${\mbox{\"{a}}}_{x+m+1,\overline{t-m-1}|}$

$$ \begin{aligned} v\cdot p_{x+m}\cdot{\mbox{\"{a}}}_{x+m+1,\overline{t-m-1}|} &=v\cdot p_{x+m}\cdot\sum\limits^{t-m-2}_{j=0}{}_jp_{x+m+1}\cdot v^j\\ & =\sum\limits^{t-m-2}_{j=0}{}_{j+1}p_{x+m}\cdot v^{j+1} =\!\sum\limits^{t-m-1}_{j=1}{}_{j}p_{x+m}\cdot v^{j} ={\mbox{\"{a}}}_{x+m,\overline{t-m}|}{-}1 \end{aligned} $$

und daher ist auch Y gleich Null. Der Beweis ist somit abgeschlossen.

Anhang

Zusätzliche numerische Resultate

Die Abhängigkeiten der Größe C von den Kostenparametern, die nicht in Abschn. 2.4 grafisch dargestellt wurden (gesamte AK, Verwaltungskosten), sind hier tabellarisch wiedergegeben. Ausgangspunkt sind die Vorgaben zu Beginn des Abschn. 2.4, wobei $x \,{=}\, 25$ Jahre fest ist.

Table 1 Abhängigkeit von C vom Gesamtsatz der Abschlusskosten bei variabler Dauer n

Table 2 Abhängigkeit von C vom Verwaltungskostensatz β bei variabler Dauer n

Table 3 Abhängigkeit von C vom Verwaltungskostensatz γ bei variabler Dauer n

Auf Anfrage stellt der Autor gerne eine Excel-Anwendung zur Verfügung, mit der alle hier dargestellten Ergebnisse ermittelt wurden.