Historical roots of the rule of composition of forces

Abstract

This paper presents the first formulations and proofs of the rule of composition of forces. In particular, those by Leonardo da Vinci and Simon Stevin, both centered on the static conception of forces that are represented by means of ropes taut by weights.

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• 1. Ciacuno de’ bracci della bilancia è duplo; de’ quali l’uno è reale e l’altro potenziale e son posti in diversi siti distanti con l’estremi l’un dall’altro, e son di varie lunghezze.³⁴

  Sempre le braccia reali della bilancia sono più lunghe di quelle potenziali e tanto più quanto esse sono più vicine al centro del mondo.

• 2. Regola della bilancia angulare. La equilibra angulare è quella della quale la congiunzione delle sue diritte braccia è angulare; nel quale angulo il suo polo è collocato. Braccio si intende dove cade il centro del peso appiccatovi. Sempre le distanzie che hanno li oppositi stremi della bilancia angulare dalla linia centrale del polo suo han nella medesima proporzione qual’è quella che hanno le lunghezze delle braccia d’essa bilancia infra loro; ma sia proporzione conversa. Come dire della bilancia angulare cef, de la quale il polo è nell’angolo e, che lo stremo f e c oppositi hanno nelle loro distanzie dalla linia centrale ab tal proporzione qual’è quella della lunghezza delle sue braccia ec e ef; ma è conversa: cioè che ’l braccio minore ha il suo estremo tanto più discosto dalla centrale quant’egli è minor del suo maggiore. E così lo spazio, che ha il braccio maggiore da tale linia centrale, è tanto minore quanto il suo braccio è maggiore che ’l suo minore. Qui le porzíon de’ cerchi non sono equali nel moto de’ bracci, ma sì nelle distanzie dalla linia centrale [10].³⁵

• 3. Quello è detto vero termine di braccio di bilancia, il quale giungendo la sua retta colla rettitudine della corda, tirata dal peso, questa congiunzione sarà fatta componendo l’angolo retto come si vede in s con ma e similmente pn con na (braccio spirituale).

• 4. Del peso. Se due corde concorrono alla sospensione d’un grave e che l’una sia diritta e l’altra obbliqua, essa obbliqua non sostiene parte alcun d’esso peso.

  Ma se due corde obblique concorreranno al sostenere d’un peso, tal proporzione fia da peso a peso, qual fia da obbliquità a obbliquità. Delle corde che da una medesima altezza che con diverse obbliquità discendano alla sospensione d’un peso, tal proposizione fia quella che a tal corda del peso accidentale si congiugne, qual’è quella delle lunghezze d’esse corde.

• 5. Quando dalla linia equigiacente discenderan due linie concorrenti all’angolo sospensore del grave, caderà la perpendiculare dividitrice di tale angolo, allora sarà diviso il peso alle due corde d’esso sospensore infra li quali pesi fia la medesima proporzione ch’è quella de’ due angoli, generata dalla predetta division del primo angolo; come se dalla equigiacente a e discendessi le due linie ac e ec, concorrenti alla composizion dell’angolo c, al quale angolo si sospenda il peso f, cadessi la perpendiculare dc dividitrice d’esso angolo in due altri angoli acd e dfe; dico che tale corde riceveranno il predetto peso in tal proporzione qua1’è quella che hanno infra loro li due angoli predetti e qual fia la proporzione delle quantità de’ due triangoli infra loro. E sempre la perpendiculare dividitrice dell’angolo di tal triangolo sarà dividitrice della gravità sospesa in due parti equali, perché passa per il centro di tal gravità.

• 6. Per la 6° del 9°, il grave 3 non si distribuisce alle braccia reali della bilancia nella medesima proporzione che è quella d’esse braccia, ma in quella proporzione che hanno infra loro le braccia potenziali.

• 7. Qui è il peso n sostenuto da due potenzie varie, cioè mf e mb. Ora mi bisogna trovare la lieva e contralìeva potenziale d’esse due potenzie bm e fm. Delle quali alla potenzia b sarà data la lieva fe e la contralieva fa. Alla lieva f e si dà l’appendiculo eb, al quale sta appiccato il motore b; e alla contralieva f a si da l’appendiculo an, che sostiene il peso n. Avendo ordinata la bilancia della potenzia e resistenzia del motore e peso, è necessario vedere che proporzione ha la lieva fe colla contralieva, fa. La quale fe è li 21/22 della contralieva fa.

  Adunque b sente 22, quando il peso n fusi 21.

• 8. Preparatio. Triangulum ABC quatuordecim globorum pondere & magnitudine aequalium, quasi corona ut E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, D, cunctum fingamus, qui omnes linea per centro ipsorum, ut in illis movere possint, transeunte, colligati aequali inter se spacio different, ut illorum bini lateri BC quaterni vero BA accommodentur, hoc est, quemadmodum linea ad lineam; ita globi sint at globos. In super S, T, V tria sint puncta immota ac fixa, quae a linea sive globorum funicolo, cum movetur, raduntur, ac stringuntur: duae que funiculi partes, quae supra trianguli basin, lateribus AB, BC sint parallelae, ut, quando connexio illa ferisque; globorum ascendi, descenditve, globi pescrura AB, BC volui possint.

• 9. Ipsique globi ex sese continuum et aeternum motum efficient, quod est falsum.

• 10. Consectorium VI. BN ducatur, secans AC continuatam in N, consimiliter D O secans continuatam LI, hoc est, latus columnæ in O, ut angulus IDO aequalis sit angulo CBN. Appendatur quoque ad DO pondus P oblique attollens, quod (amotis M, E ponderibus) columnam in suo situ conservet. Quia vero DL & BA, item DI & BC latera triangulorum DLI & BAC homologa sunt, hujusmodi conclusio inde deducitur. Quemadmodum BA ad BC: ita sacoma lateris B A ad anti sacoma lateris BC (per 2 consectarium) item quemadmodum DL ad DI: ita sacoma lateris DL ad antisacoma lateris DI, hoc estita M ad E sed homologa latera triangulorum similium ABN, LDO sunt AB & DL, item BN, & DO. Itaque ut supra, quemadmodum BA ad B N: ira sacoma B A ad anti sacoma B N (per 1 consectarium) Et quemadmodum DL ad DO: ita illius sacoma ad hujus anti sacoma, id est, M ad P si linea BN à puncto B aliovorsum; A scilicet versus, ultra BC fuisset ducta, etiam recta DO à D ultra DI cecidisset, hoc est, ut nunc citra: ita tunc ultra cecidisset, & praecedens demonstratio etiam isti situi accommoda fuisset, hoc est, quemadmodum BA ad BN ita sacoma lateris BA, ad anti sacoma lateris BN esset: & quemadmodum DL ad DO: ita sacoma lateris DL, ad anti sacoma lateris DO hoc est M ad P. Ut ista proportio non tantum in exemplis valeat, in quibus linea attollens, ut DI, perpendicularis est axi, sed etiam in aliis cuiusmodi cunque sint anguli.

• 11. Theorema XII. Si axis columnae puncta habeat, firmum, & mobile, & ex isto dependentia pondera, unum recte, alterum oblique extollens, in dato situ columnam conservat erit quemadmodum linea recte extollens ad linear oblique extollentem; ita illius pondus, ad pondus hujus.

• 12. Theorema XVIII. Si columna, & duo pondera oblique extollentia situ aequilibria sunt, erit quemadmodum linea oblique extollans, ad lineam rectè extolletem: ita ponderum quodque obliquum ad suum pondus rectum.

• 13. Stevin remarque avec raison qu’un poids appuyé sur un plan incliné et retenue par une puissance parallèle au plan, est dans la même cas que s’il était sustente par deux fils, l’un perpendiculaire, et l’autre parallèle au plan; et par sa théorie du plane incliné, il trouve que le rapport du poids à la puissance parallèle au plan est comme l’hypoténuse à la base d’un triangle rectangle formé sur le plan par deux droites, l’une vertical et l’autre perpendiculaire au plane.

• 14. Que si de quelque point pris en la ligne de direction du poids, on mene une ligne parallèle à la ligne de direction, & de la chorde, sera semblable au triangle susdit; & par conséquence ses cossez seront homologues au poids & au deux puissances.