On the discrepancy function in arbitrary dimension, close to L ¹

Abstract

Let A _N to be N points in the unit cube in dimension d, and consider the discrepancy function

$$ D_N (\vec x): = \sharp \left( {\mathcal{A}_N \cap \left[ {\vec 0,\vec x} \right)} \right) - N\left| {\left[ {\vec 0,\vec x} \right)} \right| $$

Here,

$$ \vec x = \left( {\vec x,...,x_d } \right),\left[ {0,\vec x} \right) = \prod\limits_{t = 1}^d {\left[ {0,x_t } \right),} $$

and $\left| {\left[ {0,\vec x} \right)} \right|$ denotes the Lebesgue measure of the rectangle. We show that necessarily

$$ \left\| {D_N } \right\|_{L^1 (log L)^{(d - 2)/2} } \gtrsim \left( {log N} \right)^{\left( {d - 1} \right)/2} . $$

In dimension d = 2, the ‘log L’ term has power zero, which corresponds to a Theorem due to [11]. The power on log L in dimension d ≥ 3 appears to be new, and supports a well-known conjecture on the L ¹ norm of D _N . Comments on the discrepancy function in Hardy space also support the conjecture.

Резюме

Если d = 2, то степень логарифмического множителя ‘log L’ в классе интегрируемости равна нулю, и нащ результат совпадает в Этом случае с теоремой Халаса 1981 г. В пространствах размерности d ≥ 3 степень логарифма log L в нащей от-сенке, по-видимому, представляет собой новое продвижение в направлении доказательства известной гипотезы о L ¹ норме функции D _N . Мы приводим и комментарии о функции дискрепанса в пространстве Харди, также в поддержку Этой гипотезы.