On matrix diffusion: formulations, solution methods and qualitative effects

Abstract

 Matrix diffusion has become widely recognized as an important transport mechanism. Unfortunately, accounting for matrix diffusion complicates solute-transport simulations. This problem has led to simplified formulations, partly motivated by the solution method. As a result, some confusion has been generated about how to properly pose the problem. One of the objectives of this work is to find some unity among existing formulations and solution methods. In doing so, some asymptotic properties of matrix diffusion are derived. Specifically, early-time behavior (short tests) depends only on φ _m ² R _m D _m  / L _m ², whereas late-time behavior (long tracer tests) depends only on φ _m R _m , and not on matrix diffusion coefficient or block size and shape. The latter is always true for mean arrival time. These properties help in: (a) analyzing the qualitative behavior of matrix diffusion; (b) explaining one paradox of solute transport through fractured rocks (the apparent dependence of porosity on travel time); (c) discriminating between matrix diffusion and other problems (such as kinetic sorption or heterogeneity); and (d) describing identifiability problems and ways to overcome them.

Résumé

La diffusion matricielle est un phénomène reconnu maintenant comme un mécanisme de transport important. Malheureusement, la prise en compte de la diffusion matricielle complique la simulation du transport de soluté. Ce problème a conduit à des formulations simplifiées, en partie à cause de la méthode de résolution. Il s'en est suivi une certaine confusion sur la façon de poser correctement le problème. L'un des objectifs de ce travail est de trouver une certaine unité parmi les formulations et les méthodes de résolution. C'est ainsi que certaines propriétés asymptotiques de la diffusion matricielle ont été dérivées. En particulier, le comportement à l'origine (expériences de traçage courtes) dépend uniquement du terme φ _m ² R _m D _m  / L _m ², alors que le comportement à long terme (traçages de longue durée) ne dépend que de φ _m R _m , et non pas du coefficient de diffusion matricielle ou de la forme et de la taille des blocs. Ceci est toujours vrai pour le temps moyen d'arrivée. Ces propriétés permettent: (a) d'analyser le comportement de la diffusion matricielle; (b) d'expliquer un paradoxe du transport de soluté dans les roches fracturées (la dépendance apparente entre la porosité et le temps de transit); (c) de faire la distinction entre la diffusion matricielle et d'autres problèmes, tels que la sorption cinétique ou l'hétérogénéité; et (d) de décrire les problèmes d'identification et les façons de les résoudre.

Resumen

La difusión en la matriz está reconocida en la actualidad como un importante mecanismo de transporte de solutos. Desgraciadamente, tener en cuenta este proceso complica las simulaciones de transporte. Esto ha llevado a una serie de formulaciones simplificadas, motivadas en parte por el propio método de solución. Como resultado, se ha producido cierta confusión respecto a cuál es la manera adecuada de formular el problema. Uno de los objetivos de este trabajo es encontrar una cierta unidad entre las formulaciones existentes y los métodos de solución, lo que conduce a algunas propiedades asintóticas de la difusión en la matriz; específicamente, se comprueba que el comportamiento para tiempos cortos depende únicamente del parámetro φ _m ² R _m D _m  / L _m ², mientras que el de tiempos largos depende sólo de φ _m R _m , y no del coeficiente de difusión en la matriz o del tamaño o forma del bloque. Esto último también es cierto, en todos los casos, respecto al tiempo medio de llegada (definido como el valor esperado de la distribución de tiempos de llegada). Estas propiedades son útiles para: (a) analizar el comportamiento cualitativo de la difusión en la matriz; (b) explicar una de las paradojas del transporte de solutos en medios fracturados, la aparente dependencia entre porosidad y tiempo de llegada; (c) discriminar entre difusión en la matriz y otros problemas, como las reacciones con cinética química o la heterogeneidad; y (d) describir problemas de identificabilidad y posibles modos de resolverlos.