Assessment of the role of facies heterogeneity at the fine scale by numerical transport experiments and connectivity indicators

Abstract

The heterogeneity of facies at the scale of individual lithological levels controls, at a macroscopic scale, water flow and contaminant transport in porous sediments. In particular the presence of organized features such as permeable connected levels, has a significant effect on travel times and dispersion. Here, the effects of facies heterogeneity on flow and transport are studied for three blocks, whose volume is of the order of a cubic meter, dug from alluvial sediments from the Ticino valley (Italy). Using the results of numerical tracer experiments on these domains, the longitudinal dispersion coefficient is computed with an Eulerian approach based on the fit of the breakthrough curves with the analytical solution of the convective-dispersive transport equation. Moreover, the dispersion tensor is computed with a Lagrangian approach from the second order moments of particle distributions. Three types of connectivity indicators are tested: (1) connectivity function; (2) flow, transport and statistical connectivity; (3) original (intrinsic, normal and total) indicators of facies connectivity. The connectivity function provides the most complete information. Some of the transport and statistical connectivity indicators are correlated with dispersivity. The simultaneous analysis of the three indicators of facies connectivity emphasizes the fundamental geometrical features that control transport.

Résumé

L’hétérogénéité des faciès à l’échelle des unités lithologiques contrôle à l’échelle macroscopique le flux d’eau et du transport de contaminant dans les sédiments poreux. La présence de structures organisées telles que des horizons connectés perméables, a en particulier un effet significatif sur les temps de transit et sur la dispersion. Les effets de l’hétérogénéité des faciès sur les écoulements et le transport sont étudiés sur trois blocs, dont le volume est de l’ordre du mètre cube, et le matériel issu des sédiments alluviaux de la vallée du Tessin (Italie). A partir des résultats d’essais numériques de traçage sur ces domaines, le coefficient de dispersion longitudinale est calculé selon une approche Eulérienne basée sur le calage des courbes de restitution à l’aide de solution analytique de l’équation du transport advectif et dispersif. De plus, le tenseur de la dispersion est déterminé à l’aide de l’approche Lagrangienne du deuxième ordre des moments de la distribution des particules. Trois types d’indicateurs de connectivité sont testés: (1) fonction de connectivité, (2) connectivité statistique de l’écoulement et du transport, (3) indicateurs originaux (intrinsèque, normaux et totaux) de connectivité des faciès. La fonction de connectivité fournit l’information la plus complète. Certains des indicateurs de la connectivité statistique et du transport sont corrélés avec la dispersivité. L’analyse simultanée des trois indicateurs de la connectivité des faciès met en évidence les structures fondamentales géométriques qui contrôlent le transport.

Resumen

La heterogeneidad de las facies en escala de los niveles litológicos individuales controla, a escala macroscópica, el flujo de agua y el transporte de contaminantes en los sedimentos porosos. En particular la presencia de aspectos organizados, tales como niveles permeables conectados, tienen un efecto significativo en los tiempos de tránsito y dispersión. Aquí, se estudian los efectos de la heterogeneidad de las facies sobre el flujo y transporte para tres bloques, cuyo volumen es del orden de un metro cúbico, excavados en sedimentos aluviales en el valle de Ticino (Italia). Usando los resultados de trazadores de experimentos numéricos sobre estos dominios, se calcula el coeficiente de dispersión longitudinal con una aproximación Euleriana basada en el ajuste de las curvas de rupturas con la solución analítica de la ecuación de transporte convectiva - dispersiva. Además, se calcula el tensor de dispersión con una aproximación Lagrangiana a partir de momentos de Segundo orden de la distribución de las partículas. Se testearon tres tipos de indicadores de conectividad: (1) la función de conectividad; (2) flujo, transporte y conectividad estadística; (3) indicadores originales de conectividad de las facies (intrínseco, normal y total). La función de conectividad provee la información más completa. Algunos de los indicadores de transporte y de conectividad estadística se correlacionan la dispersividad. El análisis simultáneo de los tres indicadores de conectividad de las facies enfatiza los aspectos geométricos fundamentales que controlan el transporte.

摘要

单一岩性水平上相的非均质性控制着宏观尺度下孔隙沉积中的水流和污染物质运移。尤其是规律性特征的出现, 如相互关联的渗透层, 对运移时间和弥散有显著影响。本文选取意大利Ticino峡谷冲积物中的三个岩块, 其体积大约为一个立方米级, 研究了非均质性对于流动和运移的影响。用对流弥散运移方程的数值解对穿透曲线进行拟合, 在此基础之上根据岩石的数值示踪实验结果, 采用欧拉方法计算纵向弥散系数。此外, 根据粒子分布的二阶距采用拉格朗日方法计算了弥散张量。测试了三种连通性指标 : (1) 连通函数 ; (2) 流动、运移和连通性统计 ; (3) 各相连接性的初始指标 (内在的、标准的及整体的) 。连通函数给出了最为全面的信息。某些运移和统计连通性指标与弥散度相关。三种连通性指标的模拟分析强调了基本几何特性对运移的控制作用。

Resumo

A heterogeneidade de fácies à escala de níveis litológicos individuais controla o escoamento e o transporte em sedimentos porosos à escala macroscópica. No caso particular da presença de uma rede hierarquizada de descontinuidades, tal como na presença de níveis permeáveis interconectados, é exercida uma influência significativa nos tempos de residência e na dispersão. Os efeitos da heterogeneidade de fácies no escoamento e transporte foram estudados para três blocos, cujo volume é da ordem do metro cúbico, escavados em sedimentos aluvionares do vale de Ticino, em Itália. Usando os resultados de experiências com traçadores numéricos nestes domínios, os coeficientes de dispersão longitudinais foram calculados utilizando uma abordagem Euleriana, baseada na calibração de curvas de recuperação, recorrendo a uma solução analítica da equação de transporte convectivo e dispersivo. Além disso, o tensor da dispersão foi também calculado, através de uma abordagem Lagrangiana, a partir do segundo momento da distribuição de partículas. São testados três tipos de indicadores de conectividade: (1) função de conectividade; (2) escoamento, transporte e conectividade estatística; (3) indicadores de conectividade original de fácies (intrínseca, normal e total). A função de conectividade forneceu a informação mais completa. Alguns dos indicadores de conectividade estatística e de transporte apresentam correlação com a dispersividade. A análise simultânea dos três indicadores da conectividade de fácies põe em evidência as características geométricas que controlam o transporte.

Appendix

This appendix is devoted to illustrating the significance of connectivity indicators for facies, through the analysis of these indicators for some limiting cases.

If Ω _p consists of individual points only, then $C_p^t = {C_p} = C_p^* = 0$; if Ω _p is a single connected set, then ${S_p} = {N_p}\left( {{N_p} - 1} \right)$, so that $C_p^* = 1$, whereas

$$ C_p^t = {N_p}\left( {{N_p} - 1} \right) \cdot {\left[ {N\left( {N - 1} \right)} \right]^{ - 1}} $$

and

$$ {C_p} = {N_p}\left( {{N_p} - 1} \right) \cdot {\left[ {\sum\limits_{q = 1}^{{N^{\left( {prop} \right)}}} {\sum\limits_{c = 1}^{N_q^{\left( {conn} \right)}} {N_q^{(c)}\left( {N_q^{(c)} - 1} \right)} } } \right]^{ - 1}}. $$

Another simple example helps in the understanding of these indicators. Assume that there are two facies only: facies 1 is the dominant background facies given by a single connected component, whereas facies 2 consists of equally-sized blocks, i.e., $N_2^{(c)} = N_2^{(0)} = {{{N_2}} \mathord{\left/{\vphantom {{{N_2}} {N_2^{\left( {conn} \right)}}}} \right.} {N_2^{\left( {conn} \right)}}} = {{{f_2}N} \mathord{\left/{\vphantom {{{f_2}N} {N_2^{\left( {conn} \right)}}}} \right.} {N_2^{\left( {conn} \right)}}}\quad \forall c = 1, \ldots, N_2^{\left( {conn} \right)}$. Then

$$ {S_1} = {N_1}\left( {{N_1} - 1} \right) = {f_1}N\left( {{f_1}N - 1} \right) $$

and

$$ {S_2} = N_2^{\left( {conn} \right)}N_2^{(0)}\left( {N_2^{(0)} - 1} \right) = {f_2}{N \mathord{\left/{\vphantom {N {N_2^{\left( {conn} \right)}}}} \right.} {N_2^{\left( {conn} \right)}}}\left( {{f_2}N - N_2^{\left( {conn} \right)}} \right), $$

and the denominator of C _p is given by ${N_1}\left( {{N_1} - 1} \right) + N_2^{\left( {conn} \right)}N_2^{(0)}\left( {N_2^{(0)} - 1} \right)$, so that

$$ C_1^t = \frac{{{S_1}}}{{N\left( {N - 1} \right)}} = \frac{{{f_1}\left( {{f_1}N - 1} \right)}}{{\left( {N - 1} \right)}}, $$

$$ {C_1} = \frac{{{f_1}N\left( {{f_1}N - 1} \right)}}{{{f_1}N\left( {{f_1}N - 1} \right) + {f_2}{N \mathord{\left/{\vphantom {N {N_2^{\left( {conn} \right)}}}} \right.} {N_2^{\left( {conn} \right)}}}\left( {{f_2}N - N_2^{\left( {conn} \right)}} \right)}}, $$

$$ C_1^* = {S_1} \cdot {\left[ {{N_1}\left( {{N_1} - 1} \right)} \right]^{ - 1}} = 1, $$

$$ C_2^t = \frac{{{S_2}}}{{N\left( {N - 1} \right)}} = \frac{{{{{f_2}} \mathord{\left/{\vphantom {{{f_2}} {N_2^{\left( {conn} \right)}}}} \right.} {N_2^{\left( {conn} \right)}}}\left( {{f_2}N - N_2^{\left( {conn} \right)}} \right)}}{{\left( {N - 1} \right)}}, $$

$$ {C_2} = \frac{{{f_2}{N \mathord{\left/{\vphantom {N {N_2^{\left( {conn} \right)}}}} \right.} {N_2^{\left( {conn} \right)}}}\left( {{f_2}N - N_2^{\left( {conn} \right)}} \right)}}{{{f_1}N\left( {{f_1}N - 1} \right) + {f_2}{N \mathord{\left/{\vphantom {N {N_2^{\left( {conn} \right)}}}} \right.} {N_2^{\left( {conn} \right)}}}\left( {{f_2}N - N_2^{\left( {conn} \right)}} \right)}} $$

and

$$ C_2^* = \frac{{{S_2}}}{{{N_2}\left( {{N_2} - 1} \right)}} = \frac{{{f_2}N - N_2^{(conn)}}}{{N_2^{(conn)}\left( {{f_2}N - 1} \right)}}. $$

If the domain is so big that ${f_2}N > > N_2^{\left( {conn} \right)}$ and ${f_1}N > > N_2^{\left( {conn} \right)} > 1$, then

$$ C_1^t \cong {f_1}^2,{C_1} \cong \frac{{{f_1}^2N_2^{\left( {conn} \right)}}}{{{f_1}^2N_2^{\left( {conn} \right)} + {f_2}^2}},\;C_1^* = 1 $$

and

$$ C_2^t \cong \frac{{{f_2}^2}}{{N_2^{\left( {conn} \right)}}},{C_2} \cong \frac{{{f_2}^2}}{{{f_1}^2N_2^{\left( {conn} \right)} + {f_2}^2}},C_2^* \cong \frac{1}{{N_2^{\left( {conn} \right)}}}. $$

These formulas show that the total and normal connectivities depend on the facies fractions. On the other hand, for this example, the intrinsic connectivity is 1 for the background facies 1, which was supposed to be distributed in a single percolating cluster, whereas for the embedded facies 2 it is inversely proportional to the number of its connected components.