Simulations of solute transport in fractured porous media using 2D percolation networks with uncorrelated hydraulic conductivity fields

Abstract

Two-dimensional percolation networks have been used to model a disordered and fractured porous medium. The advantage of percolation networks is that they allow the flow and transport properties of the system to be systematically studied as a function of the connectivity of the fractures and/or the permeable regions. The aim of this research is to study hydrodynamic dispersion in such networks, and to investigate the behavior of the longitudinal dispersion coefficient D_L with binary and log-normally distributed hydraulic conductivity fields. In particular, the study focuses on the behavior of D_L at the percolation threshold p_c, where the insufficiency of flow field homogenization and the limited number of tortuous paths for flow and transport force D_L to behave anomalously, i.e., to be scale- and time-dependent. The simulations indicate that the D_L population taken over a large number of the network realizations resembles a log-normal distribution, hence indicating that, unlike the hydraulic conductivity, D_L is not a self-averaged property whose variance should tend to zero when the size of the system tends to infinity. In addition, it was found that the power law that characterizes the scale dependence of D_L is contingent upon its computation method. Moreover, D_L is found to have a completely different behavior in networks with low and high connectivities.

Résumé

Des réseaux de percolation bi-dimensionnels ont été utilisés pour modéliser des milieux poreux fracturés et désordonnés. L’avantage de ces réseaux est qu’ils permettent d’étudier les propriétés d’écoulement et de transport en fonction de la connexité des fractures et/ou des zones perméables. L’objectif est d’appréhender la dispersion hydrodynamique et d’investiguer le comportement du coefficient de dispersion longitudinal D_L pour des réseaux ayant une distribution des conductivités hydrauliques binaire et log-normale. En particulier, le comportement de D_L a été étudié au seuil de percolation p_c, là où l’inhomogénéité des vitesses du fluide et le nombre limité de chemins tortueux disponibles pour l’écoulement et le transport entraînent un comportement anormal de D_L, à savoir, une dépendance vis-à-vis des échelles de temps et d’espace. Les simulations montrent que les populations de D_L définies pour un grand nombre de réseaux ressemblent à des distributions log-normales, indiquant que, contrairement à la conductivité hydraulique, D_L n’est pas une propriété dont la variance tend vers zéro lorsque la taille du système tend vers l’infini. Il a également été trouvé que les lois de puissance qui caractérisent la dépendance d’échelle de D_L découlent directement de la méthode de calcul. Enfin, les simulations engendrent un comportement très différent de D_L dans des réseaux faiblement ou fortement connectés.

Resumen

Simulaciones de transporte de solutos en medio heterogéneo utilizando redes de precolación 2D con campos de conductividad no correlacionados. Se han utilizado redes de percolación en dos dimensiones para modelizar un medio poroso fracturado y desordenado. La ventaja de redes de percolación es que permiten estudiar sistemáticamente las propiedades de flujo y transporte del sistema en función de la conectividad de las fracturas y/o regiones permeables. El objetivo de esta investigación es estudiar la dispersión hidrodinámica en las redes mencionadas, e investigar el comportamiento del coeficiente de dispersión longitudinal DL con campos de conductividad hidráulica que tienen distribución log-normal y binaria. El estudio se enfoca particularmente en el comportamiento de DL cuando se alcanza el threshold de percolación pc, donde la insuficiencia de homogenización del campo de flujo y el número limitado de trayectorias tortuosas de flujo y fuerza de transporte DL se comportan de manera anómala, i.e., son dependientes del tiempo y la escala. Las simulaciones indican que la población DL tomada en un número grande en las redes realizadas se asemeja a una distribución log-normal, indicando por lo tanto que, a diferencia de la conductividad hidráulica, DL no es una propiedad auto-promediable cuya variación tienda a cero cuando el tamaño del sistema tiende al infinito. Se encontró además que la ley potencia que caracteriza la dependencia en escala de DL es dependiente del método de cálculo. Más aún, se encontró que DL tiene un comportamiento completamente distinto en las redes de alta y baja conectividad.

Notation List

d

Dimensionality or Euclidean dimension

d_B

Backbone fractal dimension, d_B=d-β_B/ν

d_f

Sample-spanning cluster fractal dimension, d_f=d-β/ν

D_L

Longitudinal dispersion coefficient

e

Exponent of K_e

i

Hydraulic gradient

K

Hydraulic conductivity

K_e

Equivalent hydraulic conductivity

l

Bond length

L

Network length

n

Number of bonds in one direction

n_e

Effective porosity

p

Probability or fraction of open bonds

p_c

Percolation threshold

P_e

Peclet number, P_e=u*ξ_p/D_m where D_m is the molecular diffusion coefficient

Q

Flow rate

R²

Determination coefficient

S

Surface

t

Travel tim

v

Velocity, $\hat{v} = {\text{K*i}}$

x

Position along the longitudinal axis

X^A

Fraction of open bonds belonging to the sample-spanning cluster

X^B

Fraction of open bonds belonging to the backbone

α_L

Longitudinal dispersivity

β

Exponent of X^A

β_B

Exponent of X^B

χ

Exponent of the ~L^χ type law

δ

Exponent of the ~t^δ type law

ν

Exponent of the percolation correlation length (ξ_p)

θ

(e - β)/ν

θ_B

(e - β_B)/ν

σ_t

Standard deviation of the particle (mass) distributions in time at a given location

σ_x

Standard deviation of the particle (mass) distributions in space at a given time

ξ_p

Percolation correlation length