Skip to main content
SpringerLink
Log in

Zur Zahlentheorie der Griechen

Teil II. Gaußsche Lemmas und Rieszsche Ringe

  • Mathematik in Forschung und Anwendung
  • Published:
Mathematische Semesterberichte Aims and scope Submit manuscript

Zusammenfassung

Im zweiten Teil (vgl. [25]) unseres Artikels über den Euklidischen Vierzahlensatz gehen wir vom Begriff der Inkommensurabilität aus und leuchten die Irrationalitätsbeweise algebraischer Zahlen aus. Dabei treffen wir auf das Gaußsche Lemma, die ganze Abgeschlossenheit und Dedekinds Prager Satz, um schließlich wieder beim Vierzahlensatz zu landen.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Literatur

  1. Anderson, D.D., Zafrullah, M.: The Schreier property and Gauss’s Lemma. Boll. Unione Mat. Ital., Sez. B, Artic. Ric. Mat. (8) 10, 43–62 (2007)

    MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  2. Apostol, T.: Irrationality of the square root of two – a geometric proof. Am. Math. Mon. 107, 841–842 (2000)

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  3. Bloom, D.M.: A one-sentence proof that square root of 2 is irrational. Math. Mag. 68, 286 (1995)

    MathSciNet  Google Scholar 

  4. Cohen, I.S., Seidenberg, A.: Prime ideals and integral dependence. Bull. Am. Math. Soc. 52, 252–261 (1946)

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  5. Cohn, H.: A Second Course in Number Theory. J. Wiley & Sons, New York (1962) (reprinted as Advanced Number Theory. Dover, New York (1980))

  6. Cohn, P.M.: Bezout rings and their subrings. Proc. Camb. Philos. Soc. 65, 251–264 (1968)

    Article  Google Scholar 

  7. Coquand, T.: A direct proof of the Dedekind–Mertens Lemma. Preprint (2007)

  8. Coquand, T., Ducos, L., Lombardi, H., Quitté, C.: L’idéal des coefficients du produit de deux polynomes. Rev. Math. Enseign. Super. 113, 25–39 (2003)

    Google Scholar 

  9. Dedekind, R.: Über einen arithmetischen Satz von Gauß. Prag. Math. Ges. 1–11 (1892); Werke II, 28–38

  10. Dedekind, R.: Über die Begründung der Idealtheorie. Gött. Nachr. 106–113 (1895); Werke II, XXV., 50–58

  11. Dedekind, R.: Stetigkeit und irrationale Zahlen. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1872) (2nd edn. 1892; 3rd edn. 1905; 4th edn. 1912; 5th edn. 1927)

  12. Edwards, H.: Divisor Theory. Birkhäuser, Boston (1990)

    MATH  Google Scholar 

  13. Fine, N.J.: Look, Ma, no primes. Math. Mag. 49, 249 (1976)

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  14. Von Fritz, K.: The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum. Ann. Math. (2) 46, 242–264 (1945)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  15. Gauß, C.F.: Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig (1801) (deutsche Übers. durch H. Maser, Springer, Berlin (1889))

  16. Gilmer, R.: Multiplicative Ideal Theory. Marcel Dekker, New York (1972)

    MATH  Google Scholar 

  17. Hasse, H.: Proben mathematischer Forschung in allgemeinverständlicher Behandlung. Otto Salle, Frankfurt (1955)

    MATH  Google Scholar 

  18. Heine, E.: Der Eisensteinsche Satz über die Reihen-Entwicklung algebraischer Functionen. J. Reine Angew. Math. 45, 285–302 (1853)

    MATH  Google Scholar 

  19. Hensel, K.: Über eindeutige Zerlegung in Primelemente. J. Reine Angew. Math. 158, 195–198 (1927)

    MATH  Google Scholar 

  20. Hilbert, D.: Zahlbericht. Springer, New York (1998) (engl. transl. (The theory of algebraic number fields) by I. Adamson)

  21. Hurwitz, A.: Über einen Fundamentalsatz der arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. Gött. Nachr. 230–240 (1895)

  22. Kalman, D., Mena, R., Shahriari, S.: Variations on an irrational theme – geometry, dynamics, algebra. Math. Mag. 70, 93–104 (1997)

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  23. Kronecker, L.: Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen. J. Reine Angew. Math. 92, 1–123 (1882)

    Google Scholar 

  24. Landau, E.: Einführung in die elementare und analytische Theorie der algebraischen Zahlen und der Ideale. B.G. Teubner, Göttingen (1917) (reprint Chelsea 1949)

  25. Lemmermeyer, F.: Zur Zahlentheorie der Griechen; Teil I. Euklids Fundamentalsatz der Arithmetik. Math. Semesterber. 54, 1–15 (2008)

    MathSciNet  Google Scholar 

  26. Lemmermeyer, F.: Jacobi and Kummer’s ideal numbers. Eingereicht

  27. Lemmermeyer, F., Schappacher, N.: Introduction to the English edition of Hilbert’s Zahlbericht. In: The Theory of Algebraic Number Fields. Springer, Berlin (1998) (Engl. transl. of [20] by I. Adamson)

  28. Lorenz, F., Lemmermeyer, F.: Algebra I. Körper und Galoistheorie, 4. Aufl. Elsevier, Heidelberg (2007)

    Google Scholar 

  29. Magidin, A., McKinnon, D.: Gauss’s Lemma for number fields. Am. Math. Mon. 12, 385–416 (2005)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  30. McAdam, S., Rush, D.E.: Schreier rings. Bull. Lond. Math. Soc. 10, 77–80 (1978)

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  31. Mertens, F.: Über einen algebraischen Satz. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 101, 1560–1566 (1892)

    Google Scholar 

  32. Pengelley, D., Richman, F.: Did Euclid need the Euclidean algorithm to prove unique factorization? Am. Math. Mon. 113, 196–205 (2006)

    Article  MATH  MathSciNet  Google Scholar 

  33. Prüfer, H.: Untersuchungen über Teilbarkeitseigenschaften in Körpern. J. Reine Angew. Math. 168, 1–36 (1932)

    Google Scholar 

  34. Sagher, Y.: What Pythagoras could have done. Am. Math. Mon. 95, 117 (1998)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  35. Scharlau, W.: Who is Alexander Grothendieck? Anarchy, mathematics, spirituality. Scharlau, Havixbeck (2007)

    MATH  Google Scholar 

  36. Strobl, W.: Historische und systematische Entwicklung der arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen von Dedekind und Weber. Tesis de licenciatura, Univ. Madrid (1980) (span.)

  37. Suranyi, J.: Schon die alten Griechen haben das gewusst. In: Grosse Augenblicke aus der Geschichte der Mathematik. BI, Mannheim (1991)

  38. Vaughan, H.E.: On the irrationality of roots. Am. Math. Mon. 67, 576–578 (1960)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  39. van der Waerden, B.: Moderne Algebra. Springer, Berlin (1930)

    MATH  Google Scholar 

  40. Waterhouse, W.C.: Why square roots are irrational. Am. Math. Mon. 93, 213–214 (1986)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Mörikeweg 1, 73489, Jagstzell, Deutschland

    Franz Lemmermeyer

Authors
  1. Franz Lemmermeyer
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Corresponding author

Correspondence to Franz Lemmermeyer.

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Lemmermeyer, F. Zur Zahlentheorie der Griechen . Math. Semesterber. 56, 39–51 (2009). https://doi.org/10.1007/s00591-008-0045-3

Download citation

  • Received:

  • Accepted:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/s00591-008-0045-3

Search

Navigation