Generalized Cheeger sets related to landslides

Abstract.

We study the maximization problem, among all subsets X of a given domain $\Omega$, of the quotient of the integral in X of a given function f by the integral on the boundary of X of another function g. This is a generalization of the well-known Cheeger problem corresponding to constant functions f,g. The non-constant case is motivated by applications to landslides modeling where the the supremum given by a variational blocking problem appears as a safety coefficient. We prove that this coefficient is equal to the supremum of the shape optimization problem formerly mentioned. For constant data, this amounts to studying the first eigenvalue of the 1-laplacian operator.

We prove existence of optimal sets, and give some differential characterization of their internal boundary. We study their symmetry properties using the Steiner symmetrization. In dimension two, we give explicit solutions for data depending only on one variable.

Résumé.

Nous étudions le probléme de maximisation, parmi les ensembles X inclus dans un domaine fixé $\Omega$, du quotient de l’intégrale d’une fonction donnée f dans X par l’intégrale d’une autre fonction g sur le bord de X. Il s’agit donc d’une généralisation du célébre probléme de Cheeger (correspondant au cas f, g, constants). Le cas non-constant est motivé par des applications aux glissements de terrain, oú le supremum donné par un probléme variationnel de blocage, apparaít comme un coefficient de sreté. Nous démontrons que ce coefficient est égal á l’optimum du probléme d’optimisation de formes mentionné précédemment. Dans le cas de données constantes, cela revient á étudier la premiére valeur propre de l’opérateur 1-laplacien.

Nous démontrons l’existence d’ensembles optimaux, et donnons une caractérisation différentielle de leur bord intérieur. Nous étudions leur symétrie á l’aide de la symétrisation de Steiner. En dimension deux, nous exhibons des solutions explicites dans le cas oú les données ne dépendent que d’une variable.